Montrer l'égalité de deux fonctions


  • A

    Salut à tous !!

    J'ai besoin de vous pour m'aider.
    J'ai une équation de base et je dois "atterrir" sur une autre, sauf que j'y arrive pas 😞

    La 1ère :

    g(x) = -6x² + 48x
    g(x) = -6(x²-8x)

    Je ne trouve pas l'étape ici
    g(x) = 6[(x-4)² - 16]
    g(x) = -6(x-4)² + 96

    La 2ème, beaucoup plus difficile :

    On part de f(x) = x × 5−x5^{-x}5x (si vous lisez mal : x fois 5 exposant -x)
    et je dois arriver sur f(x)= ex(lnx/x−ln5)e^{x(lnx/x - ln5)}ex(lnx/xln5)

    Alors, j'arrive à faire :
    x × e−xln5e^{-xln5}exln5

    Après j'aurais besoin que vous m'éclairiez un peu pour la suite, svp.

    merci de votre aide


  • M

    coucou
    C'est normal que tu ne trouves pas l'étape entre
    g(x) = -6(x²-8x)
    et g(x) = 6[(x-4)² - 16]
    puisque c'est faux

    6[(x-4)² - 16] = 6 ( x² -8x +16 -16) = 6x² - 48 x
    Il y a une erreur de signe
    tu as bien recopié l'énoncé ?


  • M

    Pour la deuxième je pense que tu es mal parti.

    f(x)=x×5−xf(x) = x \times 5^{-x}f(x)=x×5x

    f(x)=x5xf(x) = \frac{x}{5^x}f(x)=5xx

    pour 0 < x

    ln⁡(f(x))=ln⁡(x5x)\ln (f(x)) = \ln (\frac{x}{5^x})ln(f(x))=ln(5xx)

    ln⁡(f(x))=ln⁡x−ln⁡(5x)\ln (f(x)) = \ln x - \ln (5^x)ln(f(x))=lnxln(5x)

    essaie de continuer


  • A

    Pour la première il est nécessaire que je tombe sur g(x) = -6(x-4)² + 96, c'est possible ?

    c'est bien z= -6x² +48x


  • M

    comme ça c'est bien alors

    g(x) = -6x² + 48x
    g(x) = -6(x²-8x)
    g(x) = -6(x²-8x +16 -16)
    g(x) =
    -6[(x-4)² - 16]
    g(x) = -6(x-4)² + 96

    ok ?! regarde ce que je viens de te mettre pour la deuxième


  • A

    Le + 16 -16, j'y avais pensé, mais ca fait un peu tombé du "ciel", non ?

    Je regarde pour la deuxième, merci 🙂


  • M

    ba oui moi je trouve que ça fait trop classe 🆒 lol


  • A

    Pour le 2, je comprend les étapes que tu me dis.

    Après, je dois terminer pour arriver à la forme des deux logarithmes ?
    Si oui, si je met les deux ln sur x (dénominateur) le premier prend la forme correcte et le deuxième aussi car le déno et la puissance s'annulent.
    Est-ce cela ?


  • M

    miumiu
    Pour la deuxième je pense que tu es mal parti.

    f(x)=x×5−xf(x) = x \times 5^{-x}f(x)=x×5x

    f(x)=x5xf(x) = \frac{x}{5^x}f(x)=5xx

    pour 0 < x

    ln⁡(f(x))=ln⁡(x5x)\ln (f(x)) = \ln (\frac{x}{5^x})ln(f(x))=ln(5xx)

    ln⁡(f(x))=ln⁡x−ln⁡(5x)\ln (f(x)) = \ln x - \ln (5^x)ln(f(x))=lnxln(5x)

    euh non je ne vois pas trop ce que tu veux faire en fait

    ln⁡(f(x))=ln⁡x−xln⁡(5)\ln (f(x)) = \ln x - x\ln (5)ln(f(x))=lnxxln(5)

    eln⁡(f(x))=eln⁡x−xln⁡(5)e^{\ln (f(x))} = e^{\ln x - x\ln (5)}eln(f(x))=elnxxln(5)

    la fonction exp est continue sur R
    c'est presque fini là


  • A

    sans que tu me donnes la réponse directe,,
    faut-il que je multiplie le tout par x ?

    • que je mette tout sur x
    • un truc que j'ai pas vu (com d'hab)

  • M

    tu dois mettre x en facteur quelque part en effet


  • A

    je veux bien mettre x en facteur, mais je peux pas le faire avec ln x, à moins de le multiplier par x !


  • M

    Bon est ce que tu es d'accord que
    (pour le même ensemble de dèfinition qu'au départ)

    x(ln⁡xx−ln⁡5)=ln⁡x−xln⁡5x(\frac{\ln x}{x} - \ln 5 )= \ln x - x\ln 5x(xlnxln5)=lnxxln5

    tu as tout là je pense


  • A

    en fait, c'est pour la transformation du ln x, que je vois pas.
    En fait exactement d'où va sortir le déno ?

    Dsl je comprend vraiment pas


  • M

    f(x)=x×5−xf(x) = x \times 5^{-x}f(x)=x×5x

    f(x)=x5xf(x) = \frac{x}{5^x}f(x)=5xx

    pour 0 < x
    la fonction ln⁡\lnln est continue sur l'ensemble de dèfinition

    ln⁡(f(x))=ln⁡(x5x)\ln (f(x)) = \ln (\frac{x}{5^x})ln(f(x))=ln(5xx)

    ln⁡(f(x))=ln⁡x−ln⁡(5x)\ln (f(x)) = \ln x - \ln (5^x)ln(f(x))=lnxln(5x)

    ln⁡(f(x))=ln⁡x−xln⁡(5)\ln (f(x)) = \ln x - x\ln (5)ln(f(x))=lnxxln(5)

    la fonction exp est continue sur R

    eln⁡(f(x))=eln⁡x−xln⁡(5)e^{\ln (f(x))} = e^{\ln x - x\ln (5)}eln(f(x))=elnxxln(5)

    f(x)=ex(ln⁡xx−ln⁡5)f(x) = e^{x(\frac{\ln x}{x} - \ln 5)}f(x)=ex(xlnxln5)

    clique sur "Répondre en sitant" et marque moi où tu ne comprends pas


  • A

    miumiu
    f(x)=x×5−xf(x) = x \times 5^{-x}f(x)=x×5x

    f(x)=x5xf(x) = \frac{x}{5^x}f(x)=5xx

    pour 0 < x
    la fonction ln⁡\lnln est continue sur l'ensemble de dèfinition

    ln⁡(f(x))=ln⁡(x5x)\ln (f(x)) = \ln (\frac{x}{5^x})ln(f(x))=ln(5xx)

    ln⁡(f(x))=ln⁡x−ln⁡(5x)\ln (f(x)) = \ln x - \ln (5^x)ln(f(x))=lnxln(5x)

    ln⁡(f(x))=ln⁡x−xln⁡(5)\ln (f(x)) = \ln x - x\ln (5)ln(f(x))=lnxxln(5)

    la fonction exp est continue sur R

    eln⁡(f(x))=eln⁡x−xln⁡(5)e^{\ln (f(x))} = e^{\ln x - x\ln (5)}eln(f(x))=elnxxln(5) << ici c'est bon

    f(x)=ex(ln⁡xx−ln⁡5)f(x) = e^{x(\frac{\ln x}{x} - \ln 5)}f(x)=ex(xlnxln5) << ici, je comprend pas le passage


  • M

    oki alors c'est pour le membre de droite ou de gauche ?
    _droite

    pour l'exposant il suffit de développer le x

    x×ln⁡xx=ln⁡xx\times \frac{\ln x}{x} = \ln xx×xlnx=lnx

    _gauche

    eln⁡y=ye^{\ln y} = yelny=y

    pour R+∗R_+^*R+


  • A

    ok, merci 🙂


  • M

    De rien, j'espère vraiment que tu as compris ce que j'ai fait :rolling_eyes:


  • A

    Pour une autre expression je dois calculer la dérivée :

    f(x) = x * 5−x5^{-x}5x
    On remarque que c'est un u x v = u'v + v'u
    f'(x) = (1* 5−x5^{-x}5x) + (5−x(5^{-x}(5x ln5x)
    f'(x) = 5−x5^{-x}5x + 5−x5^{-x}5x ln 5 x
    Après j'ai du mal à continuer...


  • M

    Tu sais je ne crois pas que ce soit seulement pour faire joli qu'on ait trouvé une autre expression pour f(x)=x×5−xf(x) = x \times 5^{-x}f(x)=x×5x


  • A

    Oui, mais je la trouve dix fois plus compliquée, non ?

    Bon j'essaye quand même....

    f(x) = e u(x)^{u(x)}u(x)
    f'(x) = u'(x) e u(x)^{u(x)}u(x)

    u(x) = x (lnx/x - ln5)
    u'(x) = 1( ? - 1/5) e x(lnx/x−ln5)^{x(lnx/x - ln5)}x(lnx/xln5)

    Je ne me rapelle plus de ce que donne la dérivée de ln/x..


  • M

    C'est quoi la dérivée de uv\frac{u}{v}vu avec u=ln⁡xu = \ln xu=lnx et v=xv = xv=x

    0 < x
    note bien l'ensemble de définition pour éviter de l'oublier dans ta copie


  • A

    L'ensemble de def est pas plutot x > 0 ?

    Ca fait donc :

    (1/x * x) - (lnx)

    (lnx)²

    ==

    1-lnx

    (lnx)²
    Est-ce bon ?


  • M

    c'est la même chose 1 < 2 ou 2 > 1
    😁
    ba non j'ai mis numératueur u=ln⁡xu = \ln xu=lnx et dénominateur v=xv = xv=x

    au dénominateur tu dois avoir du x²


  • A

    AH oui,
    (1/x x) - (ln x)


  • M

    on trouve a la fin

    1−ln⁡xx2\frac{1- \ln x}{x^2}x21lnx

    bon alors revenons a nos moutons
    nous on veut la dérivée de

    x (lnx/x - ln5) = ln x - xln 5

    donc en fait on a calculé pour se faire plaisir la dérivée de lnx/x t'es content j'espère 😁


  • A

    Est-ce que cela donnerait :

    1( ((1/x* x) - (ln x)) / x²)- 1/5) e x(lnx/x - ln5)


  • M

    Tu veux dire si on veut faire classe et qu'on décide de ne pas développer le x ?!

    g(x) = x (lnx/x - ln5)

    g'(x) = 1 (lnx/x - ln5) + x ((1 - ln x )/ x²)

    g'(x) = lnx/x - ln 5 + (1 - ln x)/ x

    g' (x) = lnx/x - ln 5 + 1/x - ln x/x

    g'(x) = - ln 5 + 1/x

    voilà ^^

    la dérivée de uv c'est u'v+v'u


  • A

    D'où tu la prend ta forme g(x) ?


  • A

    Re,

    D'après la représentation graphique, si x = 0 , y = ~ 1/2
    Or ta forme me donne pas ca, alors sois c'est moi qui bug soit il y a un autre pb...


  • M

    Je n'ai pas compris ce que tu voulais me faire calculer
    j'ai poser g(x) = x (lnx/x - ln5)
    parce que tu avais l'air intéressé par calculer la dérivé de ce truc

    f′(x)=(−ln⁡5+1x)ex(ln⁡xx−ln⁡5)f'(x) = (- \ln 5 + \frac{1}{x}) e^{ x(\frac{\ln x}{x} - \ln5)}f(x)=(ln5+x1)ex(xlnxln5)

    tu comprends maintenant ?
    Essaie d'être plus précis dans tes questions je ne suis pas dans ta tête ^^


  • A

    En fait, si tu regardes la représentation graphique de f(x) = x * 5-x, il y a una symptote en 1/2.
    Or, je devrais nroamelment trouver f'x(1/2) = 0
    mais ce 'nest pas le cas.


  • M

    Et bien écoute je ne sais pas comment tu utilises ta calculette mais si tu tapes exactement mon expression de 18h51 tu obtients bien 0 pour x =1/2


  • A

    En fait, la solution est ln5 / 1, mais je le trouve pas 😞


  • M

    la solution de quoi ?! je ne comprends pas ce que tu me demandes (ba oui je ne sais pas je dois être a moitié en train de dormir)


  • A

    en fait, f'(x) = 0, si x = 1/ln5
    voila et jarrive pas à le trouver avec ta formule, pourtant je sais que c'est juste (le 1/ln5)


  • M

    c'est bien cette formule que tu prends

    f′(x)=(−ln⁡5+1x)ex(ln⁡xx−ln⁡5)f'(x) = (-\ln 5 + \frac{1}{x}) e^{ x(\frac{\ln x}{x} - \ln5)}f(x)=(ln5+x1)ex(xlnxln5)

    ba je ne sais pas c'est bizarre quand je regarde avex ma calculette tout concorde je trouve environ 0,62 pour f'(x) = 0 et c'est logique

    (−ln⁡5+1x)(-\ln 5 + \frac{1}{x})(ln5+x1)

    pour x = 1/ln 5

    (−ln⁡5+1x)=−ln⁡5+11ln⁡5=0(-\ln 5 + \frac{1}{x}) = - \ln 5 + \frac{1}{\frac{1}{\ln 5}} = 0(ln5+x1)=ln5+ln511=0


  • A

    Alors, je vais dire le contraire, ecomment trouver le 1/ln5 ?


  • M

    pour le même esemble de dèf

    f′(x)=(−ln⁡5+1x)ex(ln⁡xx−ln⁡5)f'(x) = (-\ln 5 + \frac{1}{x}) e^{ x(\frac{\ln x}{x} - \ln5)}f(x)=(ln5+x1)ex(xlnxln5)

    f′(x)=0f'(x) = 0f(x)=0

    (−ln⁡5+1x)=0(-\ln 5 + \frac{1}{x}) = 0(ln5+x1)=0

    1x=ln⁡5\frac{1}{x} = \ln 5x1=ln5

    x=1ln⁡5x = \frac{1}{\ln 5}x=ln51


Se connecter pour répondre