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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
Fin 

intégration par parties

- classé dans : Intégrales & Primitives

Envoyé: 18.03.2007, 12:05

Constellation


enregistré depuis: févr.. 2006
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Bonjour tout le monde !! icon_biggrin Voila j'ai de nouveau des problèmes pour deux exos... Le pire c'est que je suis coincée dès le début alors j'arrive pas à avancer.. icon_frown Est-ce que vous pouvez m'aider à commencer mes exos merci d'avance.

Voila l'énoncé :

Exercice 1 :

1) déterminer trois réels a, b,c tels que pour tout x∈]0;+∞[ :

1/x(1+x)² = a/x + b/1+x + c/(1+x)²

2) Soit X≥ 1

a) Calculer ∫ (1/x(1+x)²,x,1,X) je le marque comme je met dans ma calcul (TI)

b) Soit φ la fonction définie sur [1;+∞[ par φ(x)= ∫(lnx/(1+x)3,x,1,X)
En intégrant par parties, calculer φ(x) en fonction de X

c) Montrer que lim lnX/(1+X)² =0
X→+∞
En déduire que lim φ = 1/2 (ln2-1/2)


Exercice 2

Soit α>0 α∈ensr

1/ On pose I(α )= ∫(1/t²*e-1/t,t,α,1)

a) Exprimer I(α ) en fonction de α

b) Déterminer lim I(α )
α→0

2) On pose J(α )= ∫( 1/t3*e-1/t,t,α,1)

a) En utilisant une intégration par parties, exprimer J(α ) en fonction de α et I(α ) puis en fonction de α

b) Déterminer lim J(α )
α→0


Voila ce que j'ai fais

Exo 1

J'ai commencé à chercher les réels seulement x*(1+x)*(1+x)² = x(1+x)3
Donc ca peut pas être égal donc je me suis dit qu'il fallait faire b=0 et

1/x(1+x)² = (a*(1+x)²+cx)/x(1+x)²
= (ax²+ (2a+c)x +a / x(1+x)²

seulement a peut pas être égal à 1 et à 0 à la fois icon_frown

Exo 2

J'ai commencé par faire une intégration par partie pour exprimer I(α ) en fonction de α mais je suis bloquée :

u = 1/x² u'= -2/t3
v'= e-1/t V= 1/t² * e-1/t

I= [1/t²*1/t²*e-1/t] - ∫ -2*t3*1/t²*e-1/t

Là je peut pas continuer si je prends l'inverse je reste aussi bloquée

u=e-1/t
v'=1/t²

aidez s'il vous plait icon_confused

Intervention de Zorro = j'ai enlevé la couleur orange parce que je n'y voyais rien et cela n'apporte rien à la question + mise d'un 's' à intégration par parties

modifié par : Zorro, 19 Mar 2007 - 21:20
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Envoyé: 18.03.2007, 12:40

Modérateur


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Salut.

Pour le 1er exo, c'est vrai que 1/x(1+x)³ au dénominateur serait plus logique. D'ailleurs si on regarde la définition de φ il y a bien une puissance 3.

Exercice 2

1.a) Dérive-moi la fonction t → e-1/t. icon_wink

@+
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Envoyé: 18.03.2007, 13:41

Constellation


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comment je fais alors pour l'exo 1 je cherche avec le dénominateur x(1+x)3 ??? icon_frown

pour l'exo 2

f'(t) = 1/t²e-1/t

???
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Envoyé: 18.03.2007, 15:30

Modérateur


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Salut.

Pour l'exo 1 je n'en sais rien.

Sinon la dérivée est bonne. Maintenant calculer I(α) ne devrait plus poser de problèmes. icon_biggrin

@+
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Envoyé: 18.03.2007, 16:46

Cosmos
miumiu

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coucou
Je te conseille pour la 1/ de mettre
a/x + b/1+x + c/(1+x)²

au même dénominateur
de diviser par (1+x)
tu devrais avoir au dénominateur x(1+x)²
tu développes le numérateur
tu factorises par x² et par x
tu devrais trouver normalement
@++
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Envoyé: 18.03.2007, 17:51

Constellation


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oki merci beaucoup à tous les deux !!! icon_smile
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Envoyé: 18.03.2007, 18:02

Cosmos
miumiu

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Oui tu me dis ce que tu trouves pour que je compare ^^.
+++
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Envoyé: 19.03.2007, 19:36

Constellation


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recoucou voilà j'ai bien avancée mais j'ai encore un problème !! icon_biggrin

voilà ce que j'ai fais :

Exo 1: icon_smile

1)
1/x(1+x)² = a(1+x)²+cx+b(x(1+x)²) / x(1+x)²
= ax²+(2a+b+c)x+a/ x(1+x)²

a=1
b=-1
c=-1

2) I=∫(1/x-1/(1+x)-1/(1+x)²)dx
I =[ lnx - ln(x+1) + 1/x+1 ] de 1 à X
I = lnX-ln(X+1)+1/(X+1)+ln0-1/2

φ(x)= ∫(lnx/(1+x)3)dx

u=lnx u'=1/x
v'=1/(1+x)3 v=-1/(2(x+1)²)

φ= [lnx*-1/(2(x+1)²)]-∫(-1/x*1/(2(1+x)²) dx
=......................... + 1/2 I
=lnX/2(X+1)²+lnU-ÿln(X+1)/2+1/2(X+1)+ln0-¿1/4

c) lim lnX/(1+X)² = 0
X→+∞
car lim lnx/x =0
x→+∞

donc lim φ = 1/2 (ln2-1/2)
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Envoyé: 19.03.2007, 19:43

Constellation


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dernière visite: 15.04.07
Exo 2 :

I(α )= ∫1/t²*e-1/t dt
= [e-1/t] de α à 1
=e-1/t- e-1

b) je sais pas comment faire parce que 0 est une valeur interdite

2) J(α )=∫ 1/t3*e-1/t dt

et là je sais pas quoi prendre j'ai pris

u=1/t u'=-1/t²
v'=e-1/t/t² v'= e-1/t

J=[1/t*e-1/t] - ∫ 1/t*e-1/t
=........................+ I

Mais j'ai un copain qui a pris

u= e-1/t
v'=1/t3

et du coup il trouve pa pareil que moi ...
Est ce que c'est lui ou moi qui a raison icon_frown ou alors aucun des 2 lol

Intervention de Zorro = j'ai ajouté des espaces après α pour supprimer l'affichage intempestif du smiley involontaire

modifié par : Zorro, 19 Mar 2007 - 20:48
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Envoyé: 19.03.2007, 20:58

Cosmos
Zorro

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dernière visite: 10.01.16
Pour faire une intégration par parties il faut trouver comment transformer ce qui est sous le symbole ∫ sous la forme u'(x)v(x)

il faut donc choisir u'(x) de façon à pourvoir trouver de façon simple u(x) ... Il faut donc choisir pour u'(x) une fonction facile à intégrer

l'autre sera v(x) donc généralement pas de problèmes pour trouver v'(x)

si tu prends u'(x) = e-1/x quelle pourrait être une primitive de cela ? on ne sait pas faire

donc il faut prendre u'(x) = 1/x² et là c'est plus faicile de trouver une primitive de u

et donc v(x) = e-1/x donc v'(x) = ??? etc ..

Tu nous dis ce que cela t'inspire !
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Envoyé: 19.03.2007, 22:16

Cosmos
Zorro

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dernière visite: 10.01.16
c'est pas forcément par parties qu'il faut raisonner !

avec g(x) = e-1/x = eu(x) avec u(x) = -1/x

donc u'(x) = ???

donc (1/x²)*e-1/t = u'(x) eu(x) donc une primitive est facilement "trouvable"

Top 
Envoyé: 21.03.2007, 13:34

Une étoile


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dernière visite: 25.03.07
salut,on peut egalement se dire pour cette intégratrion:
I(a)=∫(1/t2e-1/t)dt forme ∫u'v=[uv]-∫v'u
on peut également choisir: u'=1/t2 et v=e-1/t car la primitive u'=1/t2 est u=-1/t par la propriété pour une primitive de cette fonction est 1/tr avec r∈ensr-{1} →-1/[(r-1)t(r-1) et pour v=e-1/t on a v'=1/t2e-1/t:
I(a)=[-1/t(e-1/t)]-∫1/t2e-1/t(-1/t)dt facile à calculer.
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