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zoé16
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Envoyé: 18.03.2007, 12:05
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Constellation
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Bonjour tout le monde !!  Voila j'ai de nouveau des problèmes pour deux exos... Le pire c'est que je suis coincée dès le début alors j'arrive pas à avancer..  Est-ce que vous pouvez m'aider à commencer mes exos merci d'avance.
Voila l'énoncé :
Exercice 1 :
1) déterminer trois réels a, b,c tels que pour tout x∈]0;+∞[ :
1/x(1+x)² = a/x + b/1+x + c/(1+x)²
2) Soit X≥ 1
a) Calculer ∫ (1/x(1+x)²,x,1,X) je le marque comme je met dans ma calcul (TI)
b) Soit φ la fonction définie sur [1;+∞[ par φ(x)= ∫(lnx/(1+x)3,x,1,X)
En intégrant par parties, calculer φ(x) en fonction de X
c) Montrer que lim lnX/(1+X)² =0
X→+∞
En déduire que lim φ = 1/2 (ln2-1/2)
Exercice 2
Soit α>0 α∈
1/ On pose I(α )= ∫(1/t²*e-1/t,t,α,1)
a) Exprimer I(α ) en fonction de α
b) Déterminer lim I(α )
α→0
2) On pose J(α )= ∫( 1/t3*e-1/t,t,α,1)
a) En utilisant une intégration par parties, exprimer J(α ) en fonction de α et I(α ) puis en fonction de α
b) Déterminer lim J(α )
α→0
Voila ce que j'ai fais
Exo 1
J'ai commencé à chercher les réels seulement x*(1+x)*(1+x)² = x(1+x)3
Donc ca peut pas être égal donc je me suis dit qu'il fallait faire b=0 et
1/x(1+x)² = (a*(1+x)²+cx)/x(1+x)²
= (ax²+ (2a+c)x +a / x(1+x)²
seulement a peut pas être égal à 1 et à 0 à la fois
Exo 2
J'ai commencé par faire une intégration par partie pour exprimer I(α ) en fonction de α mais je suis bloquée :
u = 1/x² u'= -2/t3
v'= e-1/t V= 1/t² * e-1/t
I= [1/t²*1/t²*e-1/t] - ∫ -2*t3*1/t²*e-1/t
Là je peut pas continuer si je prends l'inverse je reste aussi bloquée
u=e-1/t
v'=1/t²
aidez s'il vous plait 
Intervention de Zorro = j'ai enlevé la couleur orange parce que je n'y voyais rien et cela n'apporte rien à la question + mise d'un 's' à intégration par parties
modifié par : Zorro, 19 Mar 2007 - 21:20
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Jeet-chris
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Envoyé: 18.03.2007, 12:40
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Modérateur
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Salut.
Pour le 1er exo, c'est vrai que 1/x(1+x)³ au dénominateur serait plus logique. D'ailleurs si on regarde la définition de φ il y a bien une puissance 3.
Exercice 2
1.a) Dérive-moi la fonction t → e-1/t. 
@+
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zoé16
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Envoyé: 18.03.2007, 13:41
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Constellation
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comment je fais alors pour l'exo 1 je cherche avec le dénominateur x(1+x)3 ???
pour l'exo 2
f'(t) = 1/t²e-1/t
???
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Jeet-chris
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Envoyé: 18.03.2007, 15:30
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Modérateur
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Salut.
Pour l'exo 1 je n'en sais rien.
Sinon la dérivée est bonne. Maintenant calculer I(α) ne devrait plus poser de problèmes.
@+
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miumiu
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Envoyé: 18.03.2007, 16:46
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Cosmos
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coucou
Je te conseille pour la 1/ de mettre
a/x + b/1+x + c/(1+x)²
au même dénominateur
de diviser par (1+x)
tu devrais avoir au dénominateur x(1+x)²
tu développes le numérateur
tu factorises par x² et par x
tu devrais trouver normalement
@++
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zoé16
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Envoyé: 18.03.2007, 17:51
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Constellation
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oki merci beaucoup à tous les deux !!! 
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miumiu
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Envoyé: 18.03.2007, 18:02
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Cosmos
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Oui tu me dis ce que tu trouves pour que je compare ^^.
+++
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zoé16
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Envoyé: 19.03.2007, 19:36
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Constellation
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recoucou voilà j'ai bien avancée mais j'ai encore un problème !!
voilà ce que j'ai fais :
Exo 1:
1)
1/x(1+x)² = a(1+x)²+cx+b(x(1+x)²) / x(1+x)²
= ax²+(2a+b+c)x+a/ x(1+x)²
a=1
b=-1
c=-1
2) I=∫(1/x-1/(1+x)-1/(1+x)²)dx
I =[ lnx - ln(x+1) + 1/x+1 ] de 1 à X
I = lnX-ln(X+1)+1/(X+1)+ln0-1/2
φ(x)= ∫(lnx/(1+x)3)dx
u=lnx u'=1/x
v'=1/(1+x)3 v=-1/(2(x+1)²)
φ= [lnx*-1/(2(x+1)²)]-∫(-1/x*1/(2(1+x)²) dx
=......................... + 1/2 I
=lnX/2(X+1)²+lnU-ÿln(X+1)/2+1/2(X+1)+ln0-¿1/4
c) lim lnX/(1+X)² = 0
X→+∞
car lim lnx/x =0
x→+∞
donc lim φ = 1/2 (ln2-1/2)
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zoé16
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Envoyé: 19.03.2007, 19:43
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Constellation
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Exo 2 :
I(α )= ∫1/t²*e-1/t dt
= [e-1/t] de α à 1
=e-1/t- e-1
b) je sais pas comment faire parce que 0 est une valeur interdite
2) J(α )=∫ 1/t3*e-1/t dt
et là je sais pas quoi prendre j'ai pris
u=1/t u'=-1/t²
v'=e-1/t/t² v'= e-1/t
J=[1/t*e-1/t] - ∫ 1/t*e-1/t
=........................+ I
Mais j'ai un copain qui a pris
u= e-1/t
v'=1/t3
et du coup il trouve pa pareil que moi ...
Est ce que c'est lui ou moi qui a raison ou alors aucun des 2 lol
Intervention de Zorro = j'ai ajouté des espaces après α pour supprimer l'affichage intempestif du smiley involontaire
modifié par : Zorro, 19 Mar 2007 - 20:48
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Zorro
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Envoyé: 19.03.2007, 20:58
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Modératrice
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Pour faire une intégration par parties il faut trouver comment transformer ce qui est sous le symbole ∫ sous la forme u'(x)v(x)
il faut donc choisir u'(x) de façon à pourvoir trouver de façon simple u(x) ... Il faut donc choisir pour u'(x) une fonction facile à intégrer
l'autre sera v(x) donc généralement pas de problèmes pour trouver v'(x)
si tu prends u'(x) = e-1/x quelle pourrait être une primitive de cela ? on ne sait pas faire
donc il faut prendre u'(x) = 1/x² et là c'est plus faicile de trouver une primitive de u
et donc v(x) = e-1/x donc v'(x) = ??? etc ..
Tu nous dis ce que cela t'inspire !
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Zorro
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Envoyé: 19.03.2007, 22:16
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Modératrice
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dernière visite: 07.10.08
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c'est pas forcément par parties qu'il faut raisonner !
avec g(x) = e-1/x = eu(x) avec u(x) = -1/x
donc u'(x) = ???
donc (1/x²)*e-1/t = u'(x) eu(x) donc une primitive est facilement "trouvable"
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valek
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Envoyé: 21.03.2007, 13:34
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Une étoile
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dernière visite: 25.03.07
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salut,on peut egalement se dire pour cette intégratrion:
I(a)=∫(1/t2e-1/t)dt forme ∫u'v=[uv]-∫v'u
on peut également choisir: u'=1/t2 et v=e-1/t car la primitive u'=1/t2 est u=-1/t par la propriété pour une primitive de cette fonction est 1/tr avec r∈-{1} →-1/[(r-1)t(r-1) et pour v=e-1/t on a v'=1/t2e-1/t:
I(a)=[-1/t(e-1/t)]-∫1/t2e-1/t(-1/t)dt facile à calculer.
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