suites et barycentre


  • D

    bonjour à tous et à Miumiu,
    Un exercice sur lequel je bloque partiellement, merci pour votre aide si possible :

    On considère les suites de points AnA_nAn et BnB_nBn définies pour tout entier naturel n tel que : sur un axe orienté (O,u→u^\rightarrowu) le point A0A_0A0 a pour abcisse 0 et le point B0B_0B0 a pour abscisse 12.

    Le point An+1A_{n+1}An+1 est le barycentre des points pondérés (An(A_n(An;2) et (Bn(B_n(Bn;3)
    Bn+1B_{n+1}Bn+1 est le barycentre des points pondérés (An(A_n(An;1) et (Bn(B_n(Bn;3)

    1. Placer les points A2A_2A2 et B2B_2B2

    2. On définit les suites (an(a_n(an) et (bn(b_n(bn) des abscisses respectives des points AnA_nAn et BnB_nBn

    Montrer que :
    an+1a_{n+1}an+1 = (2an(2a_n(2an + bnb_nbn)/3
    bn+1b_{n+1}bn+1 = (an(a_n(an + 3bn3b_n3bn)/4

    1. On considère la suite (un(u_n(un) définie pour tout entier naturel n par : unu_nun = bnb_nbn - ana_nan

    a) Montrer que la suite est géométrique : [je trouve une raison de 5/12]

    b) Donner l'expression de unu_nun en fonction de n : je trouve unu_nun =12(5/12 )n)^n)n?
    c) Limite de unu_nun Interpréter géométriquement :::Là je cale

    1. Démontrer que la suite (an(a_n(an) est croissante
      Etudier les variations de la suite (bn(b_n(bn)
      Que peut-on déduire des résultats précédents quant à la convergence des suites (an(a_n(an) et (bn(b_n(bn) ?

    2. On considère la suite (vn(v_n(vn) définie par vnv_nvn = 3an3a_n3an + 4bn4b_n4bn : montrer qu'elle est constante

    Déterminer la limite des suites (an(a_n(an) et (bn(b_n(bn)

    Intervention de Zorro = j'ai complété le sujet qui ne l'était pas à l'origine !


  • Zorro

    Bonjour,

    Citation
    je trouve une raison de 5/12

    Quelle est la limite d'une suite géométrique de raison q telle que -1 < q < 1 ?

    Ce qui revient à chercher la limite de (q)n(q)^n(q)n quand n tend vers l'infini avec
    -1 < q < 1

    C'est une question de cours !

    La conclusion de l'interprétation géométrique en découle de façon évidente !

    Je n'ai pas regardé comment démontrer que ( ana_nan ) est croissante mais il me semble qu'un simple calcul de an+1a_{n+1}an+1 - ana_nan doit permettre d'y arriver !


  • Zorro

    En effet c'est un simple calcul de an+1a_{n+1}an+1 - ana_nan : on tombe sur ce qui a été étudié plus haut

    Idem pour bn+1b_{n+1}bn+1 - bnb_nbn et pour la fin c'est une question de cours !


  • D

    bonjour,
    unu_nun tend vers 0 bien sûr, mais c'est l'interprétation géométrique que je ne vois pas ?
    merci de ta rapidité !


  • Zorro

    regarde la définition de unu_nun !!

    unu_nun = ana_nan - bnb_nbn donc si unu_nun a pour limite 0 .....

    cela veut dire quà l'infini ana_nan - bnb_nbn se rapproche de 0 donc les nombres ana_nan et bnb_nbn deviennent de plus en plus proche

    donc à l'infini les points AnA_nAn et BnB_nBn seront confondus !


  • D

    an+1a_{n+1}an+1 - ana_nan = (12/15)un(12/15)u_n(12/15)un donc "positif" donc (an(a_n(an) croissante
    bn+1b_{n+1}bn+1 - bnb_nbn = (−3/5)un(-3/5)u_n(3/5)un donc (bn(b_n(bn) décroissante.
    puis-je dire que ces 2 suites sont convergentes ,ana_nanen croissant,bnb_nbn,en décroissant ?
    Comment trouver leur limite ?
    merci,

    *Intervention de Zorro = ajout d'espaces *


  • Zorro

    Je reviens à la définition de unu_nun

    Et si limite de unu_nun = 0 , alors ...... ?

    Cela ne te fait pas penser à des suites adjacentes ! Regarde ton cours et les exos faits en classe sur le sujet ! La réponse y est obligatoirement.


  • D

    oui elles sont ajacentes :leur différence tend vers 0,mais comment calculer leur limite respective ?


  • Zorro

    Sans définition de la suite (bn(b_n(bn) c'est plutôt difficile !


  • D

    Merci de m'aider ,je n'arrive pas à conclure cet exo :
    je trouve aaa_{(n+1)}=an=a_n=an + 4(5/12)n4(5/12)^n4(5/12)n et donc semble tendre vers a1a_1a1=4 ?

    et bbb_{(n+1)}−bn-b_nbn= −3(5/12)n-3(5/12)^n3(5/12)n qui semble tendre vers b0b_0b0=12 ?
    donc leur différence ne tend pas vers 0 ???
    je dois faire une erreur mais où??

    merci de ton aide ..


  • D

    J'aiiiiii omis les questions suivantes :
    Etudier les variations de la suite (bn(b_n(bn)
    (Que peut-on dire des résultats précédents quant à la convergence des suites ana_nan) et( bnb_nbn
    Partie C
    On considère la suite vvvn=3an=3a_n=3an +4 bnb_nbn:montrer qu'elle est constante
    Déterminer les limites des suite a</em>na</em>{n }a</em>net bnb_nbn
    tout est là!


  • Zorro

    Je répète :sans la définition de la suite (bn(b_n(bn) c'est plutôt difficile de savoir où est ton erreur !!

    on connait (an(a_n(an) mai pas (bn(b_n(bn)


  • D

    J'aiiiiii omis les questions suivantes :
    Etudier les variations de la suite (bn(b_n(bn)
    (Que peut-on dire des résultats précédents quant à la convergence des suites ana_nan) et( bnb_nbn
    Partie C
    On considère la suite vvvn=3an=3a_n=3an +4 bnb_nbn:montrer qu'elle est constante
    Déterminer les limites des suite a</em>na</em>{n }a</em>net bnb_nbn
    tout est là!


  • D

    l'énoncé dit que b (n+1)(_{n+1)}(n+1) = (an(a_n(an + 3 bnb_nbn)/4 c'est tout !?


  • Zorro

    non l'énoncé dit : démontrer que ..... ce n'est pas la définition de (bn(b_n(bn)

    Ce que tu nous a envoyé explique bien comment est construit la suite des points AnA_nAn par contre il n'y a rien pour définir les BnB_nBn !!!

    Comment as tu construit dans la 1ère question B2B_2B2 ?

    Ma question est-elle claire ? .... Relis ton message initial :

    Citation
    Un exercice sur lequel je bloque partiellement,merci pour votre aide si possible :
    On considèreles suites de points AnA_{n }Anet BnB_{n }Bndéfinies pour tout entier naturel n tel que : sur un axe orienté (O,û) le point A°A_°A° a pour abcisse 0 et le point B°B_{° }B°a pour abcisse 12.
    Le point A(n+1)A_{(n+1)}A(n+1)est le barycentre des points (An(A_n(An;2) et (Bn(B_n(Bn;3)
    1.Placer les pts A2A_{2 }A2et B2B_2B2


  • Zorro

    C'est vrai aussi que sans ce que tu avais oublié et rajouté à 18h03, on a vraiment du mal à t'aider !!!!


  • D

    Zorro
    C'est vrai aussi que sans ce que tu avais oublié et rajouté à 18h03, on a vraiment du mal à t'aider !!!!
    mes excuses les plus plates!j'ai omis une ligne dans le stress!:
    "B(<em>n+1B(<em>{n+1}B(<em>n+1) est le barycentre des points pondérés( A</em>A</em>A</em>n;1) et( $B_$n;3)
    merci pour votre patience et votre gentillesse :rolling_eyes:


  • Zorro

    Pense à exploiter toutes les infos dont :

    Citation
    On considère la suite vnv_nvn = 3an3a_n3an + 4bn4b_n4bn : montrer qu'elle est constante

    On sait que (an(a_n(an) et (bn(b_n(bn) on même limite lll donc que peut-on en conclure avec ce qui est au dessus !

    Que vaut vnv_nvn ?


  • D

    vnv_nvn = 3an3a_n3an + 4bn4b_n4bn = 3an+13a_{n+1}3an+1 +4bn+1+4b_{n+1}+4bn+1 donc la suite est constante

    donc vnv_nvn = $7a_$n ?

    Intervntion de Zorro = ajout d'espaces pour rendre le tout plus lisible


  • Zorro

    😕

    Parce que pour toi 7an7a_n7an est une constante et ne dépend pas de n !!!

    Il faut que tu revois ta notion de constante !


  • D

    Zorro
    😕

    Parce que pour toi 7an7a_n7an est une constante et ne dépend pas de n !!!

    Il faut que tu revois ta notion de constante !

    je ne vois pas aidez moi !


  • D

    je trouve que : an+1a_{n+1}an+1 = ana_nan + 4(5/12)n4(5/12)^n4(5/12)n
    et bn+1b_{n+1}bn+1 = bnb_nbn - 3(5/12)n3(5/12)^n3(5/12)n

    mais je cale !

    intervention de Zorro = mise en forme du message qui présentait des erreurs de place dans les indices !


  • Zorro

    Pour montrer la croissance ou la décroissance d'une suiet que fais-tu ? Que pourrais-tu donc faire pour montrer qu'une suite est constante !


  • D

    voir mon post 21h27j'ai montré que :
    3a3a3an+4bn+4b_n+4bn = 3 a</em>(n+1a</em>{(n+1}a</em>(n+1) +4 b (n+1)_{(n+1)}(n+1)


  • Zorro

    Et maintenant que tu sais que (vn(v_n(vn) est constante tu ne peux toujours pas trouver à quoi est égal le nombre vnv_nvn pour tout n ?


  • D

    en fonction des valeurs de a(<em>n+1)a(<em>{n+1)}a(<em>n+1) et b(</em>n+1)b(</em>{n+1)}b(</em>n+1) trouvées (post 22h30)on trouve v n+1_{n+1}n+1 = vnv_nvn
    celà n'avance pas beaucoup !??


  • Zorro

    bin si (vn(v_n(vn) est une suite constante, pour tout n de IN on a donc :

    vnv_nvn = v98765v_{98765}v98765 = v321v_{321}v321 ou plus simple peut-être !


  • D

    effectivement je suis un peu...lourd!:
    vnv_nvn = v0v_0v0 = 4b04b_04b0 + 3a03a_03a0= 48

    et donc on calcule sachant que bnb_nbn - ana_nan= 12(5/12)n12(5/12)^n12(5/12)n ....:
    ana_nan= 48/7[1−(5/12)n48/7[1-(5/12)^n48/7[1(5/12)n]

    et on vérifie que a0a_0a0=0 a1a_1a1= 4 etc...

    et que bnb_nbn = 192/28[1−(5/12)n192/28[1-(5/12)^n192/28[1(5/12)n] et donc que les limites de ana_nan = 48/7 et que bnb_nbn = 192/28 = 48/7 ana_nan et bnb_nbn sont bien convergentes

    merci de ton aide ,celà a été un peu dur !! 😉


  • Zorro

    En effet, souvent il ne faut pas chercher trop compliqué quand on peut faire simple !

    De rien et à la prochaine ! En cas de besoin.


  • D

    votre dévouement et votre gentillesse + votre compétence sont admirables !
    un grand merci 😄


  • Zorro

    De rien ...


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