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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Fonctions et aires

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 09.03.2007, 16:56

Constellation
bleuette

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icon_smile Coucou tout le monde, pouvez-vous m'aider pour ce grand exercice, je suis perdue. Merci beaucoup. icon_frown

Enoncé : icon_eek

Soit k un nombre réel. On considère la fonction fk définie sur [0,1] par:
fk(x)=x(ln x)²+kx si x > 0 et fk(0)=0

On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans le plan rapporté au repère orthonormal (O,i,j) (unité graphique 10 cm)

Partie I Etude des fonctions fk

A) dans cette question k=0, étude et représentation de f0

1) Signe de la dérivée
a) calculer la dérivée f'0 de f0 sur ]0,1] et montrer que f'0(x) peut s'écrire sous la forme f'0(x)=(ln x)(ln x+2)
b) déterminer les solutions de l'équation f'0(x)=0 sur ]0,1]
c) étudier le signe de f'0(x) sur ]0,1]

2) étude à l'origine
a) déterminer la limite de puis de .

b) en déduire que puis que f0 est continue en 0.

c) déterminer la limite de , en déduire la tangente en O à la courbe C0.

3) Tracé de la courbe C0

a) dresser le tableau des variations de f0.

b) tracer la courbe C0


B) Etude de fk

1) dérivée de fk

a) calculer f'k(x) sur ]0,1].

b) Soit Ak le point de Ck d'abscisse 1, montrer que la tangente Tk à Ck au point Ak est la droite (OAk)

2) Etude à l'origine
a) établir que fk est continue en 0.

b) déterminer la tangente à Ck en O. On ne demande pas d'étudier les variations de fk.

C) Etude et représentation de f1 et f1/2

1) etude de f1 et tracé de C1

a) prouver que pour tout x∈]0,1], f'1(x)=(ln x +1)²

b) déterminer la position relative des courbes C0 et C1

c) établir le tableau de variation de f'1 et tracer C1 sur le même graphique que C0 en précisant le coefficient directeur de la tangente T1 à C1 au point A1.

2)Etude de f1/2 et tracé de C1/2

a) prouver que pour tout x∈[0,1],

b) en déduire une construction de C1/2 à partir de C0 et C1 et tracer C1/2 sur le même graphique que C0 et C1 en précisant la tangente T1/2 à C1/2 au point A1/2.

Partie II partage du carré OILJ en quatre parties de même aire

Soit a(alpha) un nombre réel tel que 0 < a ≤ 1

1) Calcul d'une intégrale. On pose

a) prouver en effectuant une intégration par parties

b) en effectuant à nouveau une intégration par parties prouver

c) déterminer la limite de l(a) lorsque a tend vers 0

2) Calcul d'aires
a)
Exprimer Sk(a) en fonction de a. En déduire la limite Sk de Sk(a) quand a tend vers 0
On admettra que cette limite représente l'aire (exprimée en unités d'aire) du domaine plan limité par la courbe Ck, l'axe (Ox) et la droite d'équation x=1

b) en déduire que les courbes C0, C1/2 et C1 partagent le carré OILJ en quatre parties de même aire.


Ce que j'ai fait icon_frown

Je n'ai pas réussi à faire grand chose. La partie II, je n'ai réussi à rien faire, je ne comprends pas encore très bien les intégrales.
Sinon, voici ce que j'ai fait pour la partie I:

A)

1)a) f0(x)=x(ln x)² donc f'0(x)=2ln x + (ln x)² et f'0(x)=(ln x)(ln x +2)=2ln x + (ln x)² CQFD
b) f'0(x)=(ln x)(ln x +2) on a donc soit ln x =0 d'où x=1 soit ln x +2=0 d'où x = e^(-2)=0.1353
c)Si on prend x=0.5, on remarque que f'0(x)=-0.6 d'où la conclusion suivante: f'0(x) positive de 0 à e^(-2) et négative sur e^(-2) à 1

2)a)lim ln u/√(u) = 0 et lim ln u²/u=0
b)?
c)?

3) a+b)?

B)

1)a) f'k(x)=2ln x + (ln x)² +k
b)?

2)a+b)?

C)

1)a) f'1(x)=(ln x +1)²=2ln x + (ln x)² +1 CQFD
b)?
c)?

2)a) f1/2=[x(ln x)²+x(ln x)²+x]/2 = [2x(ln x)² +x]/2 = x(ln x)²+x/2 CQFD
b)?

Je sais c'est très peu mais bon, j'espère que vous voudrez quand même bien m'aider. Merci d'avance. icon_rolleyes

Edit J-C : mise des indices et du LaTeX à la place des liens.
miumiu : j'ai continué dans la lancée de Jeet...


modifié par : miumiu, 10 Mar 2007 - 18:45
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Envoyé: 09.03.2007, 18:44

Cosmos
miumiu

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coucou
Pour la partie I la question 1) c . je ne suis pas d'accord pour le prouver tu ne dois pas prendre un exemple
pour x ∈ ]0 ; 1 ] on a ln x ...
pour x ∈ ]0 ; 1 ] on a ln x + 2 ...

ps je pense que l'on peut remercier Jeet Chris pour le remaniement de ton post icon_wink
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Envoyé: 09.03.2007, 19:22

Constellation
bleuette

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ok pour la 1c et merci à Jeet Chris d'avoir modifié le post icon_smile
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Envoyé: 09.03.2007, 20:23

Cosmos
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ok
Alors tu as su calculer les limites c'est très bien.
Pour la 2/b. Je penserais a un changement de variable
poses X =

et n'oublie pas que
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Envoyé: 10.03.2007, 14:51

Constellation
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je crois que je vais te sembler un peu bête mais, je n'y arrive pas icon_frown
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Envoyé: 10.03.2007, 15:14

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Salut.

Pour la 2.b) :

On a vu en 2.a) que .

Maintenant ce que l'on va faire c'est remplacer u par 1/x. Dans ce cas on récrit tout ça :



Or a limite d'une fonction quand 1/x tend vers +∞ c'est la limite de la fonction en 0+, es-tu d'accord ? Donc tout ça se récrit (regarde sous la limite) :



Et pour terminer essaie de manipuler la fonction en question pour retrouver l'expression de l'énoncé. icon_smile

@+
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Envoyé: 10.03.2007, 15:38

Constellation
bleuette

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Merci pour ton aide
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Envoyé: 10.03.2007, 16:01

Constellation
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Pour la 2c, j'ai trouvé que la limite était égale à 0

pour la tangente, j'ai un problème car, ln0 n'existe pas donc, on ne peux pas utiliser la formule de la tangente donc, d'après les résultats précédents, je pensais que la tangente pouvais être une droite passant par l'origine et étant perpendiculaire à l'axe des abscisses mais, je ne suis pas sûre ^^
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Envoyé: 10.03.2007, 18:51

Cosmos
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Je ne comprends pas
la 2c c'est bien

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Envoyé: 10.03.2007, 19:48

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zut, je me suis trompée icon_lol je me suis compliquée la vie et j'ai fais n'importe quoi au final icon_redface

la limite c'est +∞ étant donné que lim ln x quand x→0 est égale à -∞
(j'espère que je ne me suis pas trompée car, je commence à désespérée)
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Envoyé: 10.03.2007, 20:25

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oui c'est bon
quand tu as +∞ pour une limite en un point d'abscisse a tu as une tangente...
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Envoyé: 10.03.2007, 20:49

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donc la tangente passe par O et "longe" la courbe C0 mais, je ne sais pas trop, je crois bien que je suis nulle (en tout cas pour cet exercice) icon_frown
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Envoyé: 10.03.2007, 21:04

Cosmos
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miumiu
oui c'est bon
quand tu as +∞ pour une limite en un point d'abscisse a tu as une tangente...

excuse moi j'ai confondu tangente et assymptote ...
en fait quand tu regardes bien limite qu'ils t'ont fait calculer
tu as le nombre dérivé de la fonction f_0 en 0 tu vois ?!
Top 
Envoyé: 10.03.2007, 21:11

Constellation
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je remarques bien qu'il y a la dérivée au niveau des imites calculées mais, je ne vois pas le rapport avec la tangente icon_redface
Top 
Envoyé: 10.03.2007, 21:20

Cosmos
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Si f est dérivable en x_0, alors la tangente en le point (x0,f(x0)) a pour équation :
y-f(x0)=f'(x_0)(x-x_0).

tu le vois le lien avec le dérivée lol
Top 
Envoyé: 11.03.2007, 12:21

Constellation
bleuette

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ce que tu donnes c'est la formule de calcul de la tangente mais, je n'arrive pas à la calculer ici icon_frown
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Envoyé: 12.03.2007, 09:52



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Salut
J'ai le même exercice et je suis bloquée à la partie II. icon_frown

Citation
b) Soit Ak le point de Ck d'abscisse 1, montrer que la tangente Tk à Ck au point Ak est la droite (OAk)

Moi j'ai fait y = f'(1)(x-1) + f(1) et si j'ai fait juste on doit trouver y = kx.



modifié par : SandraL, 12 Mar 2007 - 14:45
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Envoyé: 12.03.2007, 15:16

Constellation
bleuette

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oui, c'est bien sa car, finalement c'est ce que j'ai trouvé et d'après un ami c'est juste icon_smile

Finalement, c'est bon, j'ai réussi à finir l'exercice, quelqu'un m'as aidé, merci miumiu pour l'aide que tu m'avais donné et aussi merci à Jeet-chris qui m'avais également aidé à un moment donner. icon_biggrin
Top 
Envoyé: 12.03.2007, 18:56

Cosmos
miumiu

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ok de rien
@+++
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