Fonctions et aires


  • B

    😄 Coucou tout le monde, pouvez-vous m'aider pour ce grand exercice, je suis perdue. Merci beaucoup. :frowning2:

    Enoncé :😲

    Soit k un nombre réel. On considère la fonction fkf_kfk définie sur [0,1] par:
    fkf_kfk(x)=x(ln x)²+kx si x > 0 et fkf_kfk(0)=0

    On note CkC_kCk la courbe représentative de la fonction fkf_kfk dans le plan rapporté au repère orthonormal (O,i,j) (unité graphique 10 cm)

    Partie I Etude des fonctions fkf_kfk

    A) dans cette question k=0, étude et représentation de f0f_0f0

    1. Signe de la dérivée
      a) calculer la dérivée f'0_00 de f0f_0f0 sur ]0,1] et montrer que f'0_00(x) peut s'écrire sous la forme f'0_00(x)=(ln x)(ln x+2)
      b) déterminer les solutions de l'équation f'0_00(x)=0 sur ]0,1]
      c) étudier le signe de f'0_00(x) sur ]0,1]

    2. étude à l'origine
      a) déterminer la limite de $\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\frac{ln u}{\sqrt{u}$ puis de lim⁡x→+∞(lnu)2u\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\frac{(ln u)^2}{u}limx+u(lnu)2 .

    b) en déduire que lim⁡x→0x(lnx)2=0\lim _{x \rightarrow 0}x(lnx)^2 = 0limx0x(lnx)2=0 puis que f0f_0f0 est continue en 0.

    c) déterminer la limite de lim⁡x→0f0(x)x\lim _{x \rightarrow 0}\frac{f_0(x)}{x}limx0xf0(x) , en déduire la tangente en O à la courbe C0C_0C0.

    1. Tracé de la courbe C0C_0C0

    a) dresser le tableau des variations de f0f_0f0.

    b) tracer la courbe C0C_0C0

    B) *Etude de fkf_kfk *

    1. dérivée de fkf_kfk

    a) calculer f'k_kk(x) sur ]0,1].

    b) Soit AkA_kAk le point de CkC_kCk d'abscisse 1, montrer que la tangente TkT_kTk à CkC_kCk au point AkA_kAk est la droite (OAk(OA_k(OAk)

    1. Etude à l'origine
      a) établir que fkf_kfk est continue en 0.

    b) déterminer la tangente à CkC_kCk en O. On ne demande pas d'étudier les variations de fkf_kfk.

    C) Etude et représentation de f1f_1f1 et f1/2f_{1/2}f1/2

    1. etude de f1f_1f1 et tracé de C1C_1C1

    a) prouver que pour tout x∈]0,1], f'1_11(x)=(ln x +1)²

    b) déterminer la position relative des courbes C0C_0C0 et C1C_1C1

    c) établir le tableau de variation de f'1_11 et tracer C1C_1C1 sur le même graphique que C0C_0C0 en précisant le coefficient directeur de la tangente T1T_1T1 à C1C_1C1 au point A1A_1A1.

    2)*Etude de f1/2f_{1/2}f1/2 et tracé de C1/2C_{1/2}C1/2 *

    a) prouver que pour tout x∈[0,1], f12(x)=f0(x)+f1(x)2f_{\frac{1}{2}}(x)= \frac{f_0(x)+f_1(x)}{2}f21(x)=2f0(x)+f1(x)

    b) en déduire une construction de C1/2C_{1/2}C1/2 à partir de C0C_0C0 et C1C_1C1 et tracer C1/2C_{1/2}C1/2 sur le même graphique que C0C_0C0 et C1C_1C1 en précisant la tangente T1/2T_{1/2}T1/2 à C1/2C_{1/2}C1/2 au point A1/2A_{1/2}A1/2.

    Partie II partage du carré OILJ en quatre parties de même aire

    Soit a(alpha) un nombre réel tel que 0 < a ≤ 1

    1. Calcul d'une intégrale. On pose i(a)=∫a1xln⁡(x)2dxi(a) = \int_a^1 x\ln(x)^2 dxi(a)=a1xln(x)2dx

    a) prouver en effectuant une intégration par parties i(a)=−a22ln⁡(a)2−∫a1xln⁡(x)dxi(a) = - \frac{a^2}{2} \ln(a)^2 - \int_a^1 x\ln(x) dxi(a)=2a2ln(a)2a1xln(x)dx

    b) en effectuant à nouveau une intégration par parties prouver i(a)=−a22ln⁡(a)2+a22ln⁡(a)+14−a24i(a) = - \frac{a^2}{2} \ln(a)^2 + \frac{a^2}{2} \ln(a) + \frac{1}{4} - \frac{a^2}{4}i(a)=2a2ln(a)2+2a2ln(a)+414a2

    c) déterminer la limite de l(a) lorsque a tend vers 0

    1. Calcul d'aires
      a) sk(a)=∫a1fk(x)dxs_k(a) = \int_a^1 f_k(x) dxsk(a)=a1fk(x)dx
      Exprimer SkS_kSk(a) en fonction de a. En déduire la limite SkS_kSk de SkS_kSk(a) quand a tend vers 0
      On admettra que cette limite représente l'aire (exprimée en unités d'aire) du domaine plan limité par la courbe CkC_kCk, l'axe (Ox) et la droite d'équation x=1

    b) en déduire que les courbes C0C_0C0, C1/2C_{1/2}C1/2 et C1C_1C1 partagent le carré OILJ en quatre parties de même aire.

    Ce que j'ai fait:frowning2:

    Je n'ai pas réussi à faire grand chose. La partie II, je n'ai réussi à rien faire, je ne comprends pas encore très bien les intégrales.
    Sinon, voici ce que j'ai fait pour la partie I:

    A)

    1)a) f0f_0f0(x)=x(ln x)² donc f'0_00(x)=2ln x + (ln x)² et f'0_00(x)=(ln x)(ln x +2)=2ln x + (ln x)² CQFD
    b) f'0_00(x)=(ln x)(ln x +2) on a donc soit ln x =0 d'où x=1 soit ln x +2=0 d'où x = e^(-2)=0.1353
    c)Si on prend x=0.5, on remarque que f'0_00(x)=-0.6 d'où la conclusion suivante: f'0_00(x) positive de 0 à e^(-2) et négative sur e^(-2) à 1

    2)a)lim ln u/√(u) = 0 et lim ln u²/u=0
    b)?
    c)?

    1. a+b)?

    B)

    1)a) f'k_kk(x)=2ln x + (ln x)² +k
    b)?

    2)a+b)?

    C)

    1)a) f'1_11(x)=(ln x +1)²=2ln x + (ln x)² +1 CQFD
    b)?
    c)?

    2)a) f1/2f_{1/2}f1/2=[x(ln x)²+x(ln x)²+x]/2 = [2x(ln x)² +x]/2 = x(ln x)²+x/2 CQFD
    b)?

    Je sais c'est très peu mais bon, j'espère que vous voudrez quand même bien m'aider. Merci d'avance. :rolling_eyes:

    Edit J-C : mise des indices et du LaTeX à la place des liens.

    miumiu : j'ai continué dans la lancée de Jeet...


  • M

    coucou
    Pour la partie I la question 1) c . je ne suis pas d'accord pour le prouver tu ne dois pas prendre un exemple
    pour x ∈ ]0 ; 1 ] on a ln x ...
    pour x ∈ ]0 ; 1 ] on a ln x + 2 ...

    *ps je pense que l'on peut remercier Jeet Chris pour le remaniement de ton post 😉 *


  • B

    ok pour la 1c et merci à Jeet Chris d'avoir modifié le post 😄


  • M

    ok
    Alors tu as su calculer les limites c'est très bien.
    Pour la 2/b. Je penserais a un changement de variable
    poses X = 1x\frac{1}{x}x1

    et n'oublie pas que ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln blnba=lnalnb


  • B

    je crois que je vais te sembler un peu bête mais, je n'y arrive pas :frowning2:


  • J

    Salut.

    Pour la 2.b) :

    On a vu en 2.a) que lim⁡u→+∞ln⁡(u)2u=0\lim_{u \rightarrow +\infty} \frac{\ln(u)^2}{u} = 0limu+uln(u)2=0.

    Maintenant ce que l'on va faire c'est remplacer u par 1/x. Dans ce cas on récrit tout ça :

    lim⁡1x→+∞ln⁡(1/x)21/x=0\lim_{\frac{1}{x} \rightarrow +\infty} \frac{\ln(1/x)^2}{1/x} = 0limx1+1/xln(1/x)2=0

    Or a limite d'une fonction quand 1/x tend vers +∞ c'est la limite de la fonction en 0+0^+0+, es-tu d'accord ? Donc tout ça se récrit (regarde sous la limite) :

    lim⁡x→0+ln⁡(1/x)21/x=0\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln(1/x)^2}{1/x} = 0limx0+1/xln(1/x)2=0

    Et pour terminer essaie de manipuler la fonction en question pour retrouver l'expression de l'énoncé. 😄

    @+


  • B

    Merci pour ton aide


  • B

    Pour la 2c, j'ai trouvé que la limite était égale à 0

    pour la tangente, j'ai un problème car, ln0 n'existe pas donc, on ne peux pas utiliser la formule de la tangente donc, d'après les résultats précédents, je pensais que la tangente pouvais être une droite passant par l'origine et étant perpendiculaire à l'axe des abscisses mais, je ne suis pas sûre ^^


  • M

    Je ne comprends pas
    la 2c c'est bien

    lim⁡x→0f0(x)x=lim⁡x→0x(ln⁡x)2x=lim⁡x→0(ln⁡x)2≠0\lim _{x \rightarrow 0}\frac{f_0(x)}{x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(\ln x)^2}{x}= \lim _{x \rightarrow 0} (\ln x)^2 \ne 0limx0xf0(x)=limx0xx(lnx)2=limx0(lnx)2=0


  • B

    zut, je me suis trompée 😆 je me suis compliquée la vie et j'ai fais n'importe quoi au final 😊

    la limite c'est +∞ étant donné que lim ln x quand x→0 est égale à -∞
    (j'espère que je ne me suis pas trompée car, je commence à désespérée)


  • M

    oui c'est bon
    quand tu as +∞ pour une limite en un point d'abscisse a tu as une tangente...


  • B

    donc la tangente passe par O et "longe" la courbe C0 mais, je ne sais pas trop, je crois bien que je suis nulle (en tout cas pour cet exercice) :frowning2:


  • M

    miumiu
    oui c'est bon
    quand tu as +∞ pour une limite en un point d'abscisse a tu as une tangente...
    excuse moi j'ai confondu tangente et assymptote ...
    en fait quand tu regardes bien limite qu'ils t'ont fait calculer
    tu as le nombre dérivé de la fonction f_0 en 0 tu vois ?!


  • B

    je remarques bien qu'il y a la dérivée au niveau des imites calculées mais, je ne vois pas le rapport avec la tangente 😊


  • M

    Si f est dérivable en x_0, alors la tangente en le point (x0,f(x0)) a pour équation :
    y-f(x0)=f'(x_0)(x-x_0).

    tu le vois le lien avec le dérivée lol


  • B

    ce que tu donnes c'est la formule de calcul de la tangente mais, je n'arrive pas à la calculer ici :frowning2:


  • S

    Salut
    J'ai le même exercice et je suis bloquée à la partie II. :frowning2:

    Citation
    b) Soit Ak le point de Ck d'abscisse 1, montrer que la tangente Tk à Ck au point Ak est la droite (OAk)
    Moi j'ai fait y = f'(1)(x-1) + f(1) et si j'ai fait juste on doit trouver y = kx.


  • B

    oui, c'est bien sa car, finalement c'est ce que j'ai trouvé et d'après un ami c'est juste 😄

    Finalement, c'est bon, j'ai réussi à finir l'exercice, quelqu'un m'as aidé, merci miumiu pour l'aide que tu m'avais donné et aussi merci à Jeet-chris qui m'avais également aidé à un moment donner. 😁


  • M

    ok de rien
    @+++


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