Coucou tout le monde, pouvez-vous m'aider pour ce grand exercice, je suis perdue. Merci beaucoup.
Enoncé :
Soit k un nombre réel. On considère la fonction fk définie sur [0,1] par:
fk(x)=x(ln x)²+kx si x > 0 et fk(0)=0
On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans le plan rapporté au repère orthonormal (O,i,j) (unité graphique 10 cm)
Partie I Etude des fonctions fk
A) dans cette question k=0, étude et représentation de f0
1) Signe de la dérivée
a) calculer la dérivée f'0 de f0 sur ]0,1] et montrer que f'0(x) peut s'écrire sous la forme f'0(x)=(ln x)(ln x+2)
b) déterminer les solutions de l'équation f'0(x)=0 sur ]0,1]
c) étudier le signe de f'0(x) sur ]0,1]
2) étude à l'origine
a) déterminer la limite de puis de .
b) en déduire que puis que f0 est continue en 0.
c) déterminer la limite de , en déduire la tangente en O à la courbe C0.
3) Tracé de la courbe C0
a) dresser le tableau des variations de f0.
b) tracer la courbe C0
B) Etude de fk
1) dérivée de fk
a) calculer f'k(x) sur ]0,1].
b) Soit Ak le point de Ck d'abscisse 1, montrer que la tangente Tk à Ck au point Ak est la droite (OAk)
2) Etude à l'origine
a) établir que fk est continue en 0.
b) déterminer la tangente à Ck en O. On ne demande pas d'étudier les variations de fk.
C) Etude et représentation de f1 et f1/2
1) etude de f1 et tracé de C1
a) prouver que pour tout x∈]0,1], f'1(x)=(ln x +1)²
b) déterminer la position relative des courbes C0 et C1
c) établir le tableau de variation de f'1 et tracer C1 sur le même graphique que C0 en précisant le coefficient directeur de la tangente T1 à C1 au point A1.
2)Etude de f1/2 et tracé de C1/2
a) prouver que pour tout x∈[0,1],
b) en déduire une construction de C1/2 à partir de C0 et C1 et tracer C1/2 sur le même graphique que C0 et C1 en précisant la tangente T1/2 à C1/2 au point A1/2.
Partie II partage du carré OILJ en quatre parties de même aire
Soit a(alpha) un nombre réel tel que 0 < a ≤ 1
1) Calcul d'une intégrale. On pose
a) prouver en effectuant une intégration par parties
b) en effectuant à nouveau une intégration par parties prouver
c) déterminer la limite de l(a) lorsque a tend vers 0
2) Calcul d'aires
a)
Exprimer Sk(a) en fonction de a. En déduire la limite Sk de Sk(a) quand a tend vers 0
On admettra que cette limite représente l'aire (exprimée en unités d'aire) du domaine plan limité par la courbe Ck, l'axe (Ox) et la droite d'équation x=1
b) en déduire que les courbes C0, C1/2 et C1 partagent le carré OILJ en quatre parties de même aire.
Ce que j'ai fait
Je n'ai pas réussi à faire grand chose. La partie II, je n'ai réussi à rien faire, je ne comprends pas encore très bien les intégrales.
Sinon, voici ce que j'ai fait pour la partie I:
A)
1)a) f0(x)=x(ln x)² donc f'0(x)=2ln x + (ln x)² et f'0(x)=(ln x)(ln x +2)=2ln x + (ln x)² CQFD
b) f'0(x)=(ln x)(ln x +2) on a donc soit ln x =0 d'où x=1 soit ln x +2=0 d'où x = e^(-2)=0.1353
c)Si on prend x=0.5, on remarque que f'0(x)=-0.6 d'où la conclusion suivante: f'0(x) positive de 0 à e^(-2) et négative sur e^(-2) à 1
2)a)lim ln u/√(u) = 0 et lim ln u²/u=0
b)?
c)?
3) a+b)?
B)
1)a) f'k(x)=2ln x + (ln x)² +k
b)?
2)a+b)?
C)
1)a) f'1(x)=(ln x +1)²=2ln x + (ln x)² +1 CQFD
b)?
c)?
coucou
Pour la partie I la question 1) c . je ne suis pas d'accord pour le prouver tu ne dois pas prendre un exemple
pour x ∈ ]0 ; 1 ] on a ln x ...
pour x ∈ ]0 ; 1 ] on a ln x + 2 ...
ps je pense que l'on peut remercier Jeet Chris pour le remaniement de ton post
Maintenant ce que l'on va faire c'est remplacer u par 1/x. Dans ce cas on récrit tout ça :
Or a limite d'une fonction quand 1/x tend vers +∞ c'est la limite de la fonction en 0+, es-tu d'accord ? Donc tout ça se récrit (regarde sous la limite) :
Et pour terminer essaie de manipuler la fonction en question pour retrouver l'expression de l'énoncé.
Pour la 2c, j'ai trouvé que la limite était égale à 0
pour la tangente, j'ai un problème car, ln0 n'existe pas donc, on ne peux pas utiliser la formule de la tangente donc, d'après les résultats précédents, je pensais que la tangente pouvais être une droite passant par l'origine et étant perpendiculaire à l'axe des abscisses mais, je ne suis pas sûre ^^
excuse moi j'ai confondu tangente et assymptote ...
en fait quand tu regardes bien limite qu'ils t'ont fait calculer
tu as le nombre dérivé de la fonction f_0 en 0 tu vois ?!
oui, c'est bien sa car, finalement c'est ce que j'ai trouvé et d'après un ami c'est juste
Finalement, c'est bon, j'ai réussi à finir l'exercice, quelqu'un m'as aidé, merci miumiu pour l'aide que tu m'avais donné et aussi merci à Jeet-chris qui m'avais également aidé à un moment donner.
Coucou tout le monde, pouvez-vous m'aider pour ce grand exercice, je suis perdue. Merci beaucoup. 
je me suis compliquée la vie et j'ai fais n'importe quoi au final 
