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Racine :: Le Math-Forum :: Terminale S :: Démonstration par récurrence

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	Démonstration par récurrence

flowzen	Envoyé: 01.02.2007, 01:48
enregistré depuis: Feb. 2007 Messages: 3 Status: hors ligne dernière visite: 23.02.07	Bonjour , voilà l'énoncé de l'exercice: A l'aide d'un raisonnment par récurrence, montrer que pour tout n de IN, les nombres entiers: $3^{2n} - 2^{n}$ et $3^{2n+1} + 2^{n+2}$ sont divisible par 7. Mon travail : J'ai commencé par étudier $3^{2n} - 2^n =$ ... (apres reformulation) $= (7k + 2^n)\times 3^2 + (7k-3^{2n})\times 2.$ $= 7k\times 9 + 2n\times 9 +14k -2\times 3^{2n}$ $= 7k(16) + 2(2^{n-1} \times 9 - 3^{2n})$ Actuellement , le $(9\times 2^n - 2\times 3^{2n})$ me dérange et je ne sais pas comment prouver que ce terme là est un multiple de 7 ! En tout cas , merci énormément d'avance pour votre aide !:D A bientot ! miumiu : coucou j'ai mis ton post en LaTeX j'espère ne rien avoir écorché modifié par : miumiu, 01 Fév 2007 - 10:15


miumiu	Envoyé: 01.02.2007, 10:42
Cosmos enregistré depuis: Mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	recoucou alors je ne sais pas trop comment tu as fait je vais te montrer ce que j'ai fait mais bon sous réserve d'une approbation extérieure :D je suppose que tu as fait ton initialisation pour n=0 pour l'hérédité $3^{2n} - 2^{n} = 7k$ (k réel) $2^n = 3^{2n} - 7k$ tu dois prouver que c'est vrai pour tout n de N ( je suppose que tu connais la rédaction je vais just te montrer une piste $S = 3^{2n+2} - 2^{n+1}$ $S = 3^{2n}\times 9 - 2^n\times 2$ $S = 3^{2n}\times 9 - (3^{2n} - 7k)\times 2$ $S = 3^{2n}\times 9 - 3^{2n}\times 2 - 14k$ $S= 3^{2n} ( 9-2) - 14k$ $S = 7( 3^{2n} - 2)$ voilà ... alors ?!

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