suite et fonction exponentielle


  • M

    Bonjour !!
    Alors voilà ma meilleure amie est en Term et cette après midi en voulant l'aider sur un de ses DM nous sommes tombées sur une colle :frowning2:
    Merci d'avance à ceux qui auront la gentillesse de nous éclairer .

    énoncé

    On conscidère la fonction fff définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par

    f(x)=1−x2e1−x2f(x) = 1 - x^2e^{1-x^2}f(x)=1x2e1x2

    son tableau de variations est le suivant

    $\begin{tabular}{|c|ccccccc|}x&0&&1&&+\infty \ \hline \ &1&&&&1 \ {f}&&\searrow&&\nearrow&&\ &&&0&\end{tabular}$

    asymptote d'équation y=1y = 1y=1

    Questions

    1. Soit nnn entier supérieur ou égal à 2
      Montrer que l'équation

    f(x)=1nf(x) = \frac{1}{n}f(x)=n1

    admet deux solutions unu_nun et vnv_nvn respectivement comprises entre [0;1] et [1; + ∞[.

    1. Sur la feuille construire sur l'axe des abscisses les réels unu_nun et vnv_nvn pour nnn appartenant à l'ensemble {2;3;4}.

    2. Déterminer le sens de variation des suites uuu et vvv .

    3. Montrer que la suite uuu est convergente et déterminer sa limite.

    Procéder de même pour la suite vvv . En déduire que les suites sont adjacentes.

    Réponses

    xxx de R* et ∀ nnn ≥2

    f(x)=1nf(x) = \frac{1}{n}f(x)=n1

    f(x)=1−x2e1−x2=1nf(x) = 1 - x^2e^{1-x^2} = \frac{1}{n}f(x)=1x2e1x2=n1

    1−x2e1−x2−1n=01 - x^2e^{1-x^2}- \frac{1}{n}= 01x2e1x2n1=0

    on pose
    pour les mêmes ensembles de définition de départs

    p(x)=1−x2e1−x2−1np(x) = 1 - x^2e^{1-x^2}- \frac{1}{n}p(x)=1x2e1x2n1

    ppp est composée de fonctions dérivalbles sur R* donc ppp est dérivable sur R*

    p′(x)=2x2e1−x2(−1+x2)p'(x) = 2x^2e^{1-x^2}( -1 + x^2)p(x)=2x2e1x2(1+x2)

    p′(x)≥0p'(x) \ge 0p(x)0

    −1+x2≥0-1+x^2 \ge 01+x20

    x2≥1x^2 \ge 1x21

    x≥1x \ge 1x1

    donc ppp décroissante sur [0;1] et croissante sur [1;+∞[

    lim⁡x→0p(x)=1−1n\lim _{x \rightarrow 0}p(x) = 1-\frac{1}{n}limx0p(x)=1n1

    lim⁡x→+∞p(x)=lim⁡x→+∞1−1n−x2×eex2=1−1n\lim _{x \rightarrow {+} \infty}p(x) = \lim _{x \rightarrow {+} \infty} 1-\frac{1}{n} - \frac{x^2\times e}{e^{x^2}}= 1-\frac{1}{n}limx+p(x)=limx+1n1ex2x2×e=1n1

    p(1)=−1np(1) = \frac{-1}{n}p(1)=n1

    on a donc deux solutions pour p(x)=0p(x) = 0p(x)=0 (cf théorème de la bijection)

    Alors avec la fonction TABLE de la calculette on peut trouver les valeurs de u2;v2;u3...u_2; v_2 ;u_3 ...u2;v2;u3...

    mais ensuite on ne sait pas comment prouver que uuu est croissante
    j'ai pensé à calculer la dérivée seconde car la pente de la courbe augmente avec nnn mais je ne sais pas trop où ça me mène ...


  • Thierry
    Modérateurs

    Salut,
    Voila ce que j'ai trouvé pour la question 2.

    ∀n∈mathbbNmathbb{N}mathbbN 1n+1≤1n\frac{1}{n+1} \le \frac{1}{n}n+11n1

    donc f(un+1)≤f(un)f(u_{n+1}) \le f(u_n)f(un+1)f(un)

    Or 0≤un≤10 \le u_n \le 10un1 et sur cet intervalle f esf décroissante donc

    un≤un+1u_n \le u_{n+1}unun+1 (d'après la réciproque - à démontrer - de la définition d'une fonction décroissante).

    Ca marche aussi pour vnv_nvn en considérant que 1≤vn1 \le v_n1vn.

    miumiu: mise au LaTeX 😄


  • M

    Merci beaucoup Thierry ^^
    que serions nous sans notre webmaster?! :rolling_eyes:

    http://smileys.sur-la-toile.com/repository/Respect/0038.gif


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