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Racine :: Le Math-Forum :: Terminale S :: suite et fonction exponentielle

Modéré par: Thierry, Jeet-chris, zoombinis, Zorro, kanial, Zauctore

	suite et fonction exponentielle

miumiu	Envoyé: 29.01.2007, 00:16
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	Bonjour !! Alors voilà ma meilleure amie est en Term et cette après midi en voulant l'aider sur un de ses DM nous sommes tombées sur une colle Merci d'avance à ceux qui auront la gentillesse de nous éclairer . énoncé On conscidère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par $f(x) = 1 - x^2e^{1-x^2}$ son tableau de variations est le suivant $\begin{tabular}{\|c\|ccccccc\|}x&0&&1&&+\infty \\ \hline \\ &1&&&&1 \\ {f}&&\searrow&&\nearrow&&\\ &&&0&\end{tabular}$ asymptote d'équation $y = 1$ Questions 1) Soit $n$ entier supérieur ou égal à 2 Montrer que l'équation $f(x) = \frac{1}{n}$ admet deux solutions $u_n$ et $v_n$ respectivement comprises entre [0;1] et [1; + ∞[. 2) Sur la feuille construire sur l'axe des abscisses les réels $u_n$ et $v_n$ pour $n$ appartenant à l'ensemble {2;3;4}. 3) Déterminer le sens de variation des suites $u$ et $v$ . 4) Montrer que la suite $u$ est convergente et déterminer sa limite. Procéder de même pour la suite $v$ . En déduire que les suites sont adjacentes. Réponses 1) ∀ $x$ de R* et ∀ $n$ ≥2 $f(x) = \frac{1}{n}$ ⇔ $f(x) = 1 - x^2e^{1-x^2} = \frac{1}{n}$ ⇔ $1 - x^2e^{1-x^2}- \frac{1}{n}= 0$ ⇔ on pose pour les mêmes ensembles de définition de départs $P(x) = 1 - x^2e^{1-x^2}- \frac{1}{n}$ $P$ est composée de fonctions dérivalbles sur R* donc $P$ est dérivable sur R* $P'(x) = 2x^2e^{1-x^2}( -1 + x^2)$ $P'(x) \ge 0$ ⇔ $-1+x^2 \ge 0$ ⇔ $x^2 \ge 1$ ⇔ $x \ge 1$ donc $P$ décroissante sur [0;1] et croissante sur [1;+∞[ $\lim _{x \rightarrow 0}P(x) = 1-\frac{1}{n}$ $\lim _{x \rightarrow {+} \infty}P(x) = \lim _{x \rightarrow {+} \infty} 1-\frac{1}{n} - \frac{x^2\times e}{e^{x^2}}= 1-\frac{1}{n}$ $P(1) = \frac{-1}{n}$ on a donc deux solutions pour $P(x) = 0$ (cf théorème de la bijection) 2) Alors avec la fonction TABLE de la calculette on peut trouver les valeurs de $u_2; v_2 ;u_3 ...$ mais ensuite on ne sait pas comment prouver que $u$ est croissante j'ai pensé à calculer la dérivée seconde car la pente de la courbe augmente avec $n$ mais je ne sais pas trop où ça me mène ... modifié par : miumiu, 29 Jan 2007 - 00:38


Thierry	Envoyé: 29.01.2007, 01:10
Webmaster enregistré depuis: jui. 2004 Messages: 2134 Status: hors ligne dernière visite: 09.01.09	Salut, Voila ce que j'ai trouvé pour la question 2. ∀n∈ $\frac{1}{n+1} \le \frac{1}{n}$ donc $f(u_{n+1}) \le f(u_n)$ Or $0 \le u_n \le 1$ et sur cet intervalle f esf décroissante donc $u_n \le u_{n+1}$ (d'après la réciproque - à démontrer - de la définition d'une fonction décroissante). Ca marche aussi pour $v_n$ en considérant que $1 \le v_n$ . miumiu: mise au LaTeX :D modifié par : miumiu, 29 Jan 2007 - 07:45 Thierry Prof de math à Paris.

miumiu	Envoyé: 29.01.2007, 14:07
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	Merci beaucoup Thierry ^^ que serions nous sans notre webmaster?!

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