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besoin d'aide une suite bien compliquée |
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Léina
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Envoyé: 20.01.2007, 21:42
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enregistré depuis: jan. 2007
Messages: 1
Status: hors ligne
dernière visite: 20.01.07
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Bonjour,
J'ai un dm à rendre sur une suite bien compliquée:
Enoncé:
La suite U est définie pour n ≥ 1 par U1 = 2 et la relation, valable pour tout n ≥ 1
=\frac{1}{2}[ln(u_n)+ln(\frac{n}{(n+1)^2})])
1) Vérifier que cette suite est effectivement bien définie et que tous ses termes sont inférieurs ou égaux à 2.
2) on pose pour n ≥ 1,  , puis  )
Déterminer la relation entre Vn et Vn+1 et en déduire que la suite (Wn) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
3) montrer que la suite (Wn) converge et en déduire que la suite ( ) converge vers une limite que l'on précisera.
4) Calculer la somme 
En déduire une expression du produit  , puis une expression du produit 
Etudier les limites éventuelles des suites (Sn), (Pn) et (Qn).
J'ai essayé:
1) est définie sur ]-1;+00[
car ) est définie sur ]-1;+00[ et que Un ≠ -1
ln(un) est défini sur ]0;+00[.
Pour un entier naturel quelconque, soit la propriété P(n):
" ln(=\frac{1}{2}[ln(u_n)+ln(\frac{n}{(n+1)^2})]) ".
Initialisation: au rang n=1
ln(=\frac{1}{2}[ln(u_1)+ln(\frac{1}{(1+1)^2})])
ln(=\frac{1}{2}[ln(2)+ln(\frac{1}{4})])
ln(=\frac{1}{2}[ln(\frac{1}{(2)})])
ln( )environ egal-0,34
Donc ln(u2) est bien strictement inférieur à 2
Donc "ln( " est vraie.
Transmissibilité:
Soit n un entier naturel quelconque; supposons P(n) vraie, c'est-à-dire ln( ; par hypothèse:
n ≥ 1
n+1 ≥ 2
(n+1)² ≥ 4
^2}) ≤ 
^2}) ≤
ln() ≤ ln()
ln(un)+ln() ≤ ln()+ln(2)
+ln(\frac{n}{(n+1)^2})]) ≤ 1/2[ln()+ln(2)]
Donc ln( ) ≤ -0,34
Donc P(n+1) est vraie.
Conclusion: Par le principe de récurrence, la propriété P(n):
"ln( " est donc vraie pour tout entier naturel n.
Est-ce que c'est bon?
2)J'ai essayé d'utiliser ma méthode mais je ne parviens pas
n ≥ 1
Vn= n
U_{n+1})
+U_{n+1})
là je bloque et
Wn+1/Wn = ln(Vn+1)/ln(Vn) = ln(nUn+1+Un+1)/ln(nUn).
car je n'arrive pas à trouver les résultats de ceci:
Vn= n
Merci de votre aide
Léina
Intervention de Zorro = modif pour que le tout soit plus lisible (≥ et ≤ ) , aération du texte , mise en indice en dehors du LaTex et correction des erreurs d'affichage venant du symbole inférieur
modifié par : Zorro, 21 Jan 2007 - 00:32
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Zorro
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Envoyé: 21.01.2007, 01:04
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Modératrice
enregistré depuis: oct. 2005
Messages: 5670
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dernière visite: 11.10.08
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Bonjour,
Pour la 1 je pense que ta démonstration de l'existence de Un pour tout n ≥ 1 est à revoir. En effet ta démonstration ne tient pas debout.
Un+1 existe si et seulement si +ln\left({\frac{n}{(n+1)^2}}\right) ) existe
donc il faut que  \,\text{ et }\, \text{ln}\left({\frac{n}{(n+1)^2}}\right) ) existent
Rappelons que ln(x) existe si et seulment si x > 0
pour le 2ème terme c'est évident existe (n ≠ -1) et est bien un nombre positif
Pour le premier il faut montrer que un est toujours positif quelque soit n ≥ 1
Je te laisse le soin de le faire.
Dans ta récurrence pour démontrer que pour tout n ≥1 alors Un ≤ 2 , il y a un passage qui me semble bizarre : quand tu multiplies à la 4ème ligne le terme de gauche par n et pas celui de droite !
Pour la suite je regarderai plus tard car vue l'heure tardive, je risquerais de faire des erreurs dues à la fatigue.
modifié par : Zorro, 21 Jan 2007 - 01:09
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