développements limités appliqués aux fonctions trigonométriques

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	développements limités appliqués aux fonctions trigonométriques

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miumiu	Envoyé: 18.01.2007, 17:56
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	Bonjour, je dois calculé des développements limités dans mon TD de physique mais je n'ai jamais eu de cours là dessus quelqu'un pourrait - il m'aider ?! Merci Démontrer les expressions suivantes $sin x = x + O (x^3)$ $cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O (x^4)$ $tan x = x + O (x^3)$ les angles sont en radians alors j'ai utlisé la formule de Taylor et j'ai calculé le développement limité à l'ordre 2 de $sin$ de $cos$ et de $tan$ ce que je ne comprends pas c'est la fin de l'expression les $O (x^3)$ j'arrive a trouver $sin x = x$ $cos x = 1 - \frac{x^2}{2}$ $tan x = x$ mais c'est tout pourquoi on n'a pas $O (x^2)$ si c'est un développement limité d'ordre 2 ???!! merci


miumiu	Envoyé: 18.01.2007, 18:28
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	Bon alors ensuite on me demande calculer le développement limité à l'ordre 2 de la fonction $g(y) = ay^2 + cy^5$ autour de $y_0 = \frac{1}{3}$ alors on a $g' (y) = 2ay + 5cy^4$ $g''(y) = 2a + 20cy^3$ donc avec la formule de Taylor j'ai $g(y) = ( a\frac{1}{3^2} + c \frac{1}{3^5}) + (2a\frac{1}{3} + 5c\frac{1}{3^4})\times (y- \frac{1}{3}) + (2a + 20c\frac{1}{3^3})\times (y-\frac{1}{3})^2\times \frac{1}{2!} + O (y- \frac{1}{3})^2$ c'est bon ?! et ensuite j'en fais quoi de ce truc je développe tout ?! merci modification pour la dernière expression ce sont des y et non des x bien sûr modifié par : miumiu, 18 Jan 2007 - 20:23

Jeet-chris	Envoyé: 18.01.2007, 20:07
Modérateur enregistré depuis: jun. 2005 Messages: 1162 Status: hors ligne dernière visite: 12.05.08	Salut. Premier post : Tout dépend de la notation : soit c'est des "petits o", et alors c'est faux, soit ce sont des "grands O", et alors c'est juste. De toute manière, si on te demande de montrer ça, il faut pousser tes développements aux ordres 3 et 4, ce que tu n'as apparemment pas fait. Si ce sont des "grands O", leur utilisation est justifiée par le fait que les termes d'ordres intermédiaires sont nuls et que ceux de l'ordre en question ne le sont justement pas. Second post : Après ça, ben je ne vois pas de simplifications (des petits o d'ordres supérieurs qui apparaîtraient dans les calculs), donc tu fais comme tu veux. Le seul reproche que je peux faire, c'est que tu as écrit des x-1/3 au lieu d'utiliser y. @+

Zorro	Envoyé: 18.01.2007, 20:14
Modératrice enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 5098 Status: hors ligne dernière visite: 13.05.08	Coucou cos(x)= 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + x⁸/8! -... sin(x)= x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ... tan(x)= x + x³/3 + 2x⁵/15 + 17x⁷/315 +... Donc pour cos , tu trouves bien un ⁴ après x²/2! pour sin et pour tan , tu trouves un x³ après le x Pour la 2 je te fais confiance ... il y a juste un souci avec ton x-1/3 au lieu de y-1/3

miumiu	Envoyé: 18.01.2007, 20:15
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	re alors ce sont des $O$ des grands donc ce sont des développements limités d'ordre 2 qu'il y a dans l'énoncé ou d'ordre 3 et 4 je ne comprends parce qu'en utlisant la formule avec un ordre de 2 je trouve bien comme l'énoncé suaf pour les $O(x^3)$ pourquoi pas de $O(x^2)$ j'ai du mal oui je sais XD merci pour le second post ;)j'ai mis 1/3 car on me dit que c'est autour de 1/3

miumiu	Envoyé: 18.01.2007, 20:17
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	a ok ok oui erreur d'inattention bien sur merci Zorro modifié par : miumiu, 18 Jan 2007 - 20:18

Jeet-chris	Envoyé: 18.01.2007, 20:24
Modérateur enregistré depuis: jun. 2005 Messages: 1162 Status: hors ligne dernière visite: 12.05.08	Salut. Non je critiquais juste l'utilisation de x au lieu de y. Si ce sont des grands O, alors c'est tout à fait normal. Un grand O, ça veut dire que l'on est du même ordre de grandeur. Tu peux tout à fait utiliser un o(x²), mais le fait que l'on te donne des O(x³) montre que la question cachée, c'est de montrer que les termes de l'ordre de x² sont nuls, ce qui est le cas. Comme ils sont nuls, alors on "saute" l'ordre en x² pour aller à l'ordre en x³. Mais comme on ne veut pas calculer le terme exact, alors on te dit que c'est un truc qui est de l'ordre de grandeur de x³. C'est juste utilisé pour augmenter la précision de ton développement. @+

miumiu	Envoyé: 18.01.2007, 20:30
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	ok ok je pense que je comprends ouè merci Jeet-Chris merci Zorro XD attention je vais vous en mettre d'autres :D

miumiu	Envoyé: 18.01.2007, 21:11
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	j'ai une nouvelle question après que je me sois amusée avec ces développements on me donne un exercice d'application a)Un avion survolant le campus forme la base d'un triangle (isocèle) dont l'angle opposé est de 1° (l'angle sous lequel l'observateur voit l'avion). On supposera que l'observateur est situé au sommet de cet angle et que l'avion est perpendiculaire a la bissectrice. Sachantque l'avion mesure 100m de long, calculez la distance à laquelle il se trouve (par rapport à l'observateur). Bon alors là je ne vois pas du tout le rapport avec les développements limités j'ai utilisé $tan$ et je trouve 5729 m. Par ailleurs, sachant que l'angle par rapport à l'horizon est de 30°,calculez son altitude et sa distance au sol. je ne vois pas du tout ce qu'ils veulent nous faire calculer c'est pas l'altitude qu'on vient de calculer. b) Si l'avion mesurait $133.33 = \frac{4}{3} \times 100$ m, quelles auraient été ces mêmes distances ? Faites le calcul exact. c) Utilisez des développements limités au premier ordre pour estimer les résultats à la question précédente. Calculez les erreurs dûes à l'utilisation des développements limités. Expliquez votre résultat. alors pour la c) non plus je ne vois pas parce que je ne sais pas vraiment a quoi ça sert le développement limité lol je vais faire une figure pour vous montrer comment je vois le truc modifié par : miumiu, 18 Jan 2007 - 21:18

miumiu	Envoyé: 18.01.2007, 22:06
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	je pense que ma figure doit être fausse parce que je ne vois pas à quoi il correspond l'angle de 30 °

miumiu	Envoyé: 19.01.2007, 18:06
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	Bon alors j'ai laissé tomber l'histoire avec le 30° parce que je ne vois pas ce que c'est et parce que ce qu'ils me demandent me perturbe je pensais que l'altitude et la distance au sol étaient la même chose ... lol vu que j'ai trouvé l'altitude à l'aide de la tangente et qu'on m'a parlé de développement limité de la tangente dans le premier exercice je pense que je suis sur la bonne piste nan ?! pour un avion 133,33 m je trouve une altitude environ égale à 7600m donc pour la question c) si j'ai "bien " compris ces histoire de DL je dois faire le DL au premier ordre de $tan$ autour de 1° soit $\frac{\pi}{180}$ en radian ce qui me donne $tan (x ) = tan (\frac{\pi}{180}) + (1 + tan ^2 ( \frac{\pi}{180})) (x - \frac{\pi}{180})$ le problème c'est que je ne vois pas ce que je peux faire de ce truc ... comment le comparer avec les valeurs calculées précédemment... modifié par : miumiu, 19 Jan 2007 - 18:07

miumiu	Envoyé: 20.01.2007, 17:59
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	alors j'ai fait un nouveau truc parce qu'en plus je m'étais trompée c'était pour un angle de 0.5° donc pour $\frac{\pi}{360}$ rad j'ai pris le développement limité à l'ordre 1 autour de 0 (l'expression du premier exercice) j'ai mis que $tan (\frac{\pi}{360}) = \frac{\pi}{360}$ donc voilà ensuite dans mes premiers calculs je remplace mes tan(0.5) par $\frac{\pi}{360}$ avant j'avais $tan (0.5) = \frac{200}{3MO}$ $MO = \frac{200}{3 tan (0.5)}$ $MO = \frac{200}{3 }$ MO = altitude je rapelle que l'avion fait $\frac{4}{3} \times 100$ m ^^ maintenant j'ai mis $MO = \frac{200}{3 \frac{\pi}{360} }$ bon alors j'ai quasiment le même résultat (youpi) avec les deux méthodes par contre ce qui me gène c'est que je trouve comme pourcentage d'erreur 0.003% alors bon voilà je trouve ça un peu petit surtout que j'ai lu que plus on allait loins dans le DL plus c'était précis ... là je me demande comment on pourrait dire que ce n'est pas précis ^^ me suis je encore trompée ?!

miumiu	Envoyé: 22.01.2007, 22:28
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	bon alors ma figure était fausse c'était donc normal que je ne comprenne rien en fait l'avion décole ou un truc du genre je pense