Démontrer égalité avec argument d'un nombre complexe


  • B

    bonjour,
    j'ai un exercice sur les nombres complexes a faire et je galère un peu sur une question. voici l'énoncé :
    on note A et B les points d'affixes respectives -i et 3i.
    on note f l'application qui a tout point M du plan, d'affixe z, distinct de A,associe le point M' d'affixe z' tel que :
    z'=(iz+3)/(z+i)

    pour tout point M du plan distinct de A et B, démontrer que : arg(z')=(vecteur MA; vecteur MB)+pi/2 a 2pi près

    merci pour votre aide


  • Zorro

    bonjour,

    Il faut se souvenir que

    arg(zd,−,zczb,−,za),=,angle(ab⃗,;,cd⃗)\text{arg}( \frac{ z_d ,- , z_c }{ z_b ,- , z_a }) ,= , \text{angle}(\vec {ab}, ; , \vec {cd})arg(zb,,zazd,,zc),=,angle(ab,;,cd)

    et z′,=,iz+3z+i,=,i(z−3i)z−(−i),=,i,z−3iz−(−i)z',= ,\frac{iz+3}{z+i} ,= , \frac{i(z-3i)}{z-(-i)},= , i,\frac{z-3i}{z-(-i)}z,=,z+iiz+3,=,z(i)i(z3i),=,i,z(i)z3i

    Il est donc facile de calculer l'argument de z' en fonction de l'angle demandé

    En effet, il faut utiliser la formule

    arg(zz') = arg(z) + arg(z')

    donc arg(z′),=,arg(i),+,arg(z−3iz−(−i))\text{arg}(z') ,= , \text{arg}(i) ,+ , \text{arg}\left( {\frac{z-3i}{z-(-i)}} \right)arg(z),=,arg(i),+,arg(z(i)z3i)


  • M

    coucou
    aaaaaaaa désolée ce n'est pas de ta faute mais j'ai dû retapé tout mon post parce que je "n'étais pas autorisée à poster 😡 "
    lol
    bon (la manière de Zorro est sans doute plus simple)

    arg(z′)=(ma⃗;mb⃗)+π2a2πarg(z')=(\vec {ma}; \vec{ mb})+ \frac{\pi}{2} \text{a} 2\piarg(z)=(ma;mb)+2πa2π

    arg(z′)−π2=(ma⃗;mb⃗)a2πarg(z')- \frac{\pi}{2} =(\vec {ma}; \vec{ mb}) \text{a} 2 \piarg(z)2π=(ma;mb)a2π

    arg(z′)−arg(i)=(ma⃗;mb⃗)a2πarg(z')- arg(i) =(\vec {ma}; \vec{ mb}) \text{a} 2 \piarg(z)arg(i)=(ma;mb)a2π

    arg(z′i)=(ma⃗;mb⃗)a2πarg(\frac{z'}{i}) =(\vec {ma}; \vec{ mb}) \text{a} 2 \piarg(iz)=(ma;mb)a2π

    en bidouillant ça devrait aller je pense (j'espère :D)
    tu as compris ??

    arg(z′i)=arg(iz+3z+i×1i)arg(\frac{z'}{i}) = arg (\frac{iz+3}{z+i} \times \frac{1}{i})arg(iz)=arg(z+iiz+3×i1)

    arg(z′i)=arg(iz+3zi−1)arg(\frac{z'}{i}) = arg (\frac{iz+3}{zi-1})arg(iz)=arg(zi1iz+3)

    on multiplie par i au numérateur et au dénomintaeur

    arg(z′i)=arg(3i−z−i−z)arg(\frac{z'}{i}) = arg (\frac{3i-z}{-i-z})arg(iz)=arg(iz3iz)

    arg(z′i)=arg(zb−zmza−zm)arg(\frac{z'}{i}) = arg (\frac{z_b-z_m}{z_a-z_m})arg(iz)=arg(zazmzbzm)

    arg(z′i)=(ma⃗;mb⃗)arg(\frac{z'}{i}) = (\vec{ma};\vec{mb})arg(iz)=(ma;mb)


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