Montrer qu'une suite est arithmétique et donner sa raison et son terme général


  • S

    bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice

    la suite Un est definie par les relations suivantes:
    Uo=1
    U1=8
    pour tout naturel n supérieur ou égal à 2,
    Un=4(UUn=4(UUn=4(U{n-1}−U</em>n−2-U</em>{n-2}U</em>n2)

    a)Montrer que la suite (Vn) définie par Un=2nUn=2^nUn=2nVn vérifie pour tout n supérieur ou égale à 2 la relation:
    Vn- VVV{n-1}=V=V=V{n-1}−Vn−2-V_{n-2}Vn2
    En déduire que la suite (Vn) est arithmétique
    Quelle est sa raison?

    b)Déterminer le terme général de la suite (Vn) puis celui de la suite (Un).


  • Thierry
    Modérateurs

    senate

    la suite (Vn) définie par Un=2nUn=2^nUn=2nVn
    Salut !
    Peux-tu me confirmer que tu n'as pas fait là une erreur de frappe ? Je n'ai pas vérifié avec la suite mais ça m'intrigue cette tournure d'énoncé ...


  • S

    bonjour, non je n'ai pas fais d'erreur de frappe c'est bien ça


  • Thierry
    Modérateurs

    Merci.

    a) Tu peux partir de l'expression de départ : UUUn=4(U=4(U=4(U{n-1}−Un−2-U_{n-2}Un2)

    • Puis tu remplaces dans cette expression :
      UnU_nUn par 222^nVnV_nVn
      Un−1U_{n-1}Un1 par 222^{n-1}Vn−1V_{n-1}Vn1
      Un−2U_{n-2}Un2 par ...
    • Tu développes à droite puis simplifies la ligne en remarquant que 4=224=2^24=22
    • Tu divises les deux membres de l'égalité par 2n2^n2n. Tu dois alors remarquer une simplification entre numérateurs et dénominateurs.
    • Tu es alors très proche de la relation demandée ^^

    b) Tu peux appeler R = VnV_nVn - Vn−1V_{n-1}Vn1.
    Je te propose de faire un raisonnement par récurrence pour démontrer que VnV_nVn - Vn−1V_{n-1}Vn1 = R quelque soit n. Il faudra te servir du résultat de la question précédente.

    A bientôt.


  • S

    merci


  • S

    Un= 4(U4(U4(U{n-1}−U</em>n−2-U</em>{n-2}U</em>n2)
    2n2^n2nVn= 4 (2(2(2^{n-1}VVV{n-1}−2-22^{n-2}V</em>n−2V</em>{n-2}V</em>n2)

    je développe
    2n2^n2nVn= 888^{n-1}VVV{n-1}−8-88^{n-2}V</em>n−2V</em>{n-2}V</em>n2
    mais je ne comprend pas comment simplifier


  • Thierry
    Modérateurs

    Bon ton développement est à revoir.
    2n−12^{n-1}2n1=2²×2n−12^{n-1}2n1 et là c'est la règle (ab)(ab)(ab)^n=an=a^n=an.bnb^nbn qu'il faut appliquer.

    Le développement va donc donner :
    222^nVVVn=2=2=2^{n+1}VVV{n-1}−2-22^nVn−2V_{n-2}Vn2


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