encadrement de la dérivée : problème court mais ...

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	encadrement de la dérivée : problème court mais ...

Thierry	Envoyé: 12.01.2007, 22:37
Webmaster enregistré depuis: jui. 2004 Messages: 1891 Status: hors ligne dernière visite: 01.07.08	Salut, C'est sur la question 2 de cet exercice que je n'ai pas encore trouvé la solution. Vous allez peut-être pouvoir me donner un coup de pouce f est une fonction définie et dérivable sur R telle que : -f(x)≤f'(x)≤f(x) On pose g(x)=e^x.f(x) et h(x)=e^-x.f(x) 1) Montrer que g est croissante et h est décroissante. On trouve g'(x)=e^x[f'(x)-f(x)] et l'encadrement de l'énoncé permet de prouver que g'(x)≥0. Le raisonnement est similaire pour h'(x). 2) Montrer que si f(0)=0 alors f(x)=0 quelque soit x∈R Il me semble qu'il faut chercher à montrer que f est alors une fonction constante mais je n'ai pas encore trouvé le truc. Quelqu'un a une idée ? Merci d'avance modifié par : Thierry, 12 Jan 2007 - 23:24 Thierry Prof de math à Paris.


stuntman78	Envoyé: 12.01.2007, 22:53
Voie lactée enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 93 Status: hors ligne dernière visite: 08.03.07	bonsoir thierry ! en ce qui concerne le 2) sachant que les questions se suivent en maths,j'en conclu qu'il faut se servir de la question 1) pour montrer que f est constant mais comment je ne me souviens plus,je me souviens juste avoir deja vu un exercice de ce type encore merci thierry d'avoir mit ma bannière dans les bannières du forum :):):):)

Thierry	Envoyé: 12.01.2007, 22:58
Webmaster enregistré depuis: jui. 2004 Messages: 1891 Status: hors ligne dernière visite: 01.07.08	C'est très probable en effet. Thierry Prof de math à Paris.

stuntman78	Envoyé: 12.01.2007, 23:10
Voie lactée enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 93 Status: hors ligne dernière visite: 08.03.07	ou alors j'ai peut etre une petite idée: vu que -f(x)≤f'(x)≤f(x) alors -f(0)≤f'(0)≤f(0) Or f(0)=0 donc -f(0)=0=f(0) ainsi -f(x)=f'(x)=f(x) encore merci thierry d'avoir mit ma bannière dans les bannières du forum :):):):)

Thierry	Envoyé: 12.01.2007, 23:29
Webmaster enregistré depuis: jui. 2004 Messages: 1891 Status: hors ligne dernière visite: 01.07.08	Si f'(0)=0 cela ne justifie pas que f'(x)=0 pour tout x. (Jeet dans son infinie délicatesse me souffle une solution en privé, je vais tâcher de voir ça). Bonne nuit ! Thierry Prof de math à Paris.

Thierry	Envoyé: 20.02.2007, 22:10
Webmaster enregistré depuis: jui. 2004 Messages: 1891 Status: hors ligne dernière visite: 01.07.08	Salut, Quand j'ai un problème en tête ... Bon j'ai pu y repenser aujourd'hui et j'ai trouvé la solution. Je viens vous en faire part. (miumiu si le coeur t'en dit, tu pourras le mettre au LaTeX mais il y a beaucoup de ≤) ) Remarquons d'abord que si $f(0)=0$ alors $g(0)=h(0)=0$ . Comme $g$ est décroissante et $h$ croissante, si x < 0 alors $g(x) \ge 0$ et $h(x) \le 0$ si $x \ge 0$ alors $g(x)\le 0$ et $h(x) \ge 0$ Nous avons $-f(x) \le f'(x) \le f(x)$ Or $f(x) = e^{-x}\times g(x) = e^x \times h(x)$ donc (A) $-e^{-x}\times g(x) \le f'(x) \le e{-x}\times g(x)$ (B) $-e^{x}\times h(x) \le f'(x) \le e^{x}\times h(x)$ Quand x < 0 : $h(x) \le 0$ donc $e^x.h(x) \le 0$ et $-e^x.h(x) \ge 0$ donc (B) $\Longrightarrow$ $0 \le f'(x) \le 0$ donc $f$ est constante Quand $x \ge 0$ : On utilise le même raisonnement que précédemment avec $g$ et l'encadrement (A). Ainsi $f$ est constante sur $\mathbb{R}$ et $f(x)=0$ $\forall x$ à ton service ^^ modifié par : miumiu, 20 Fév 2007 - 22:49 Thierry Prof de math à Paris.