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Envoyé: 22.05.2005, 09:30
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Bonjour à tous :)
En temps normal, j'arrive à résoudre ce type de système, mais là je bloque ! Pouvez vous m'aider ?
sujet : résoudre le système suivant :
x²+xy+y²=4(x+y)
y²+yz+z²=4(y+z)
z²+zx+x²=4(z+x)
Merci d'avance !
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Envoyé: 23.05.2005, 00:43
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Webmaster
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Salut,
Je n'ai pas de méthode de résolution mais j'ai trouvé 4 triplets de solution :
(0;0;0) ,(4;0;0),(0;4;0) et (0;0;4).
J'ai remarqué que les solutions étaient interchangeables et je les ai remplacé par zéro ...
Quand tu connaîtras la ruse ... je serai curieux de la connaître aussi !
Thierry
Prof de math à Paris.
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Envoyé: 26.05.2005, 09:30
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Cosmos
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Salut!
Dites: y'aurait pas une astuce du style:
x² + xy + y² = 4(x+y) <==> (x + y)² - xy = 4(x + y)...et pareil pour les autres??...mais j'avoue je n'ai pas continué car je ne suis pas sûre que ça aboutisse!...ou en faisant la 1ère équation moins la 2nde les y² s'en vont... et je crois qu'on est dans une impasse!...néanmoins, les résultats de Thierry sont tout à fait justes!je suis aussi curieuse de savoir comment il fallait faire... en plus c'est un truc de terminale et je n'arrive pas à le faire!!!...hummm J'ENRAGE!!!!
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Envoyé: 26.05.2005, 23:31
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Cosmos
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voici toutes les solutions :
S={(0,0,0);(4,0,0);(0,4,0);(0,0,4);(8/3,8/3,8/3);(8/3,8/3;-4/3);(8/3,-4/3,8/3);(-4/3;8/3;8/3)}
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Envoyé: 27.05.2005, 03:11
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Webmaster
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Ok.
Si on fait la 1ère ligne moins la 2ème on arrive à factoriser pour obtenir :
(x-z)(x+y+z-4)=0
alors
* Soit x=z (on remplace x par z dans la 3ème et en étudiant tous les cas possibles on obtient les solutions que tu indiques)
* Soit x+y+z-4=0 ce qui conduit à 3 systèmes possibles (en soustrayant les 3 lignes entre elles 2 à 2)
{x+y+z-4=0
{x+y+z-4=0
{x+y+z-4=0 (qui donne un plan)
ou bien
{x+y+z-4=0
{x+y+z-4=0
{y-z=0 (qui donne une droite de l'espace)
ou bien
{x+y+z-4=0
{y-z=0
{x-z=0
qui donne le triplet (4/3;4/3;4/3) qui n'est en fait pas solution du système initial donc éliminé.
Quant aux 2 premiers systèmes j'ai testé quelques triplets du plan P(x+y+z-4=0) qui s'avèrent ne pas être solutions.
Ce que je ne sais pas c'est pourquoi on peut être sûr qu'aucun point de ce plan P ne peut être solution et comment tu es sûr qu'aucun autre point appartenant à P n'est solution.
As-tu une idée là-dessus ? 
Thierry
Prof de math à Paris.
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Envoyé: 04.06.2005, 14:28
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oups, excusez-moi de ne pas vous avoir répondu alors que vous avez tous cherché à m'aider : je m'en veux ...
Alors flight tu as raison, les solutions étaient :
(0,0,0)
(4,0,0)
(0,4,0)
(0,0,4)
(8/3,8/3,8/3)
(8/3,8/3;-4/3)
(8/3,-4/3,8/3)
(-4/3;8/3;8/3)
merci de votre aide à tous !!
@+
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Envoyé: 06.06.2005, 12:26
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Cosmos
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Salut!
Bon c'est bien beau tout ça...mais comment on y arrive?avec ma méthode c'est bon?
Biz
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