Etude complète d'une fonction logarithme


  • L

    Une entreprise fabrique un produit en quantité x, epxrimée en milliers de tonnes.
    Le cout total de fabrication est donné pr x [0;5] par
    Ct(x)=x24+92ln⁡(x+1)Ct (x) = \frac{x^2}{4} + \frac{9}{2} \ln(x+1)Ct(x)=4x2+29ln(x+1)

    Les couts sont exprimés en centaines de milliers d'euros
    I/ On considère la fonction f definie sur [0;5] par :
    f(x)=x22+9xx+1−9ln⁡(x+1)f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{9x}{x+1} - 9\ln(x+1)f(x)=2x2+x+19x9ln(x+1)

    1/ Calculer f'(x)

    Verifier que l'on peut écrire f′(x)=x(x−2)(x+4)(x+1)2f'(x) = \frac{x(x-2)(x+4)}{(x+1)^2}f(x)=(x+1)2x(x2)(x+4)

    2/ Etablir le tableau des variations de f sur [0;5]
    3/ En déduire que f s'annule sur sur ]0;5] pour une valeur unique en a

    4/ determiner un encadrement à 10-3 près, de a (on précisera la méthode utilisée)
    5/ deduire des resultats précédents le signe f sur [0;5]

    II/
    La fonction cout moyen Cm est définie sur ]0;5] par
    Cm(x)=Ct(x)x=x4+92(ln⁡(x+1)x)Cm (x) = \frac{Ct(x)}{x} = \frac{x}{4} + \frac{9}{2} (\frac{\ln(x+1)}{x})Cm(x)=xCt(x)=4x+29(xln(x+1))

    1/ Calculer Cm′(x)C_m'(x)Cm(x)
    Verifier que l'on peut écrire Cm′(x)=f(x)2x2C_m'(x) = \frac{f(x)}{ 2x^2}Cm(x)=2x2f(x) où la fonction auxilliaire de la question I
    2/ Etudier le sens de variation de Cm sur ]0;5]
    3/ Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un cout moyen minimal, exprimé en euros par tonne ? Quel est ce cout?

    J'aurais besoin d'aide, je ne comprend pas trop comment le faire merci de m'aider

    J'ai commencer malgré tt
    f′(x)=x+9(x+1)2−9x+1f'(x) = x + \frac{9}{(x+1)^2} - \frac{9}{x+1}f(x)=x+(x+1)29x+19

    J'ai trouvé comment vérifier que cela fait f′(x)=x(x−2)(x+4)(x+1)2f'(x) = \frac{x(x-2)(x+4)}{(x+1)^2}f(x)=(x+1)2x(x2)(x+4)

    Le tableau de variation c negatif puis nul puis positif
    compris entre 0 et 5 avec la valeur 2 au milieu
    Cela descend et monte non?
    Mais quelles sont les valeurs de a? 2?
    Et comment calcule t-on Cm(x)' merci

    miumiu: passage au LaTeX


  • M

    coucou
    alors ta dérivée est bonne ça va ton tableau aussi
    la fonction est strictement décroissante sur [0;2[ et strictement croissante sur ]2;5]

    tu dois calculer les limites en 0 et en 5
    as tu vu le théorème de la bijection ou celui des valeurs intermédiaires ???
    on ne te demande pas de trouver la valeur a mais seulement de dire qu'il en existe une et une seule ...


  • L

    Coucou
    bah non en fait je me souviens pas avoir vu ça peut être le theoreme des valeurs intermèdiaires mais c'est tout


  • L

    Pour les lim de 0 j'ai trouve 0+ et 5 + l'infini


  • M

    oki
    le cours

    1. Le théorème des valeurs intermédiaires:

    Soit f une fonction.
    Si f est continue dans [a;b], alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c de [a;b] tel que f(c)=k .

    Le cas d'une fonction continue strictement monotone dans [a:b]
    Soit f une fonction.
    Si f est continue et strictement monotone dans [a;b], alors, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c de [a;b] tel que f(c)=k .

    ça te dit quelquechose ???
    ps: peux tu me dire si les modifications que j'ai fait sur ton sujet sont les bonnes merci 😉


  • M

    oki pour la limite en 0 mais en 5 ... tu as fait quoi pour trouver +∞ tu n'as pas remplacé x par 5 dans l'expression de f si ?!


  • L

    Ah bah si faut remplacer en 5 c'est 23,31
    Oui les modifications sur mon sujet son bonnes
    Le cours me dit quelque chose mais je ne me souviens pas l'avoir appliquer dans un exercice


  • M

    ba voilà l'application de ton cours dans ce cas 😉
    pour x=2 on a f(x)≈-1.9 et pour x=5 on a f(x)≈ 4 je ne sais pas comment tu trouves 23.31 ...
    bref la fonction est strictment croissante sur cet intervalle donc il ne peut y avaoir qu'une valeur de x pour laquelle f(x)=0
    tu vois ?!


  • L

    Oui je vois je prend ma calculatrice pour trouver le nombre c'est ça? mais en fait moi g trouvé soit 3,7
    et pr le reste oui g toruvé ça pr x=2 j'ai trouvé -1,9 et pr x=5 j'ai trouvé 3,87


  • M

    oui voilà je me souvenais que ça faisait à peu près 4 😄 pour x=5 oui alors si tu as trouvé en faisant la fonction TABLE de ta calculette c'est bon ...


  • M

    pour la dérivée de C_m tu vas me le faire par étapes

    dérivée de x4\frac{x}{4}4x

    dérivée de ln⁡(x+1)\ln(x+1)ln(x+1)

    dérivée de uv\frac{u}{v}vu


  • L

    Et quand il demande ça faut dire quoi?
    5/ deduire des resultats précédents le signe f sur [0;5]


  • M

    et bien tu sais que pour x=a on a f(x)= 0

    donc pour x < a on a f(x)... 0 et pour x > a on a f(x) ...0


  • L

    dérivée de x/4x/4x/4 = rien du tout
    ln(x+1) =1/(x+1)1/(x+1)1/(x+1)
    derivée de u/v c'est u'v-v'u/v2u/v^2u/v2


  • M

    la dérivée dex4\frac{x}{4}4x c'est rien du tout !!!!!! 😲 alors la dérivée de xxx c'est quoi ??? lol

    c'est bien de se mettre au LaTeX bravo 😉


  • L

    ah mince je me suis trompé je crois la derivée de
    x/4x/4x/4 c'est x =1 mais alors ça ferait 1/0


  • M

    quoi ?! lol

    la dérivée de xxx c'est 1 car en fait x=1xx=1xx=1x

    la dérivée de x4(=14x)\frac{x}{4} (=\frac{1}{4}x)4x(=41x) c'est ...


  • L

    ça ferait 1/4?


  • L

    dc x4\frac{x}{4}4x = 1/4 ?

    ln(x+1)x\frac{ln(x+1)}{x}xln(x+1) donc il faut faire avec u/v ?

    Je cherche la derivée de ça

    f(x)=x4+92(ln(x+1)x)]f(x) = \frac{x}{4} + \frac{9}{2} (\frac{ln(x+1)}{x}) ]f(x)=4x+29(xln(x+1))]


  • M

    oui voilou ba c'est bientôt les vacances nan ?! XD

    bon alors maintenant vas-y essaie de trouver la dérivée de CmC_mCm


  • L

    Ah non les vacances c'est fini aujourd'hui
    donc la derivée serait
    1/4+9/2(1(x+1)×x−1×ln(x+1)1/4 + 9/2 ( \frac{1}{(x+1)}\times x - 1\times ln(x+1)1/4+9/2((x+1)1×x1×ln(x+1)

    miumiu : modification du code LaTeX


  • M

    nan je ne trouve pas ça
    d'ailleurs tu devrais avoir quelque part du x2x^2x2 au dénominateur ... donne moi tes calcules que je regarde

    n'oublie pas que la dérivée de uv\frac{u}{v}vu c'est u′vuv′v2\frac{u'v_uv'}{v^2}v2uvuv

    si t'as du mal en LaTeX pas grave ...


  • L

    alor g trouvé 1/4 + 9/2 ((1/x+1)× x - 1 × ln (x+1) / x^2


  • M

    oui je suis d'accord pour le moment je pense qu'il faut encore simplifier


  • L

    Après bah a la fin g trouvé 1/4 + 9/2 (x^2-ln(1))/x^2


  • M

    c'est presque ça !! (je suppose que c'est ln(1+x) au fait)
    puisque à la fin tu dois trouver

    2x2Cm′(x)=f(x)2x^2 C'_m(x) = f(x)2x2Cm(x)=f(x)
    montre moi tes calculs sinon ...


  • L

    Je crois que cela fait ça
    1/4 - (9/(2x(x1))


  • M

    je ne sais pas c'est peut être mon ordi qui beug mais je vois

    1/4 - (9 /(2x (x1) )

    il y a forcément du logarithme quelque part !! et je te dis poste moi tes calculs pour que je regarde sinon


  • L

    bah j'ai utiliser la formile (lnu)' = u'/u donc moi j'ai bien trouvé ça


  • M

    ba oui ok mais à un moment tu as du faire (u'v-uv')
    avec du par exemple u= ln(x+1)
    donc ok dans la formule il y a u' mais il y a u aussi ...

    je te le repete donne moi tes calculs pour que je regarde ... tes étapes


  • L

    1/4 + 9/(2x(x+1)) -9ln(x+1)/(2x^2)

    Mais mes calculs j'ai tt mélangé jarrive pas a comprendre comment fiare en fait


  • M

    Cm(x)=x4+92(ln⁡(x+1)x)C_m(x) = \frac{x}{4} + \frac{9}{2} (\frac{\ln(x+1)}{x})Cm(x)=4x+29(xln(x+1))

    CmC_mCm est composée de fonctions dérivables sur ]-1;+∞[ donc CmC_mCm est dérivable sur ]-1;+∞[

    Cm′(x)=14+92×(xx+1−ln⁡(x+1)x2)C'_m(x) = \frac{1}{4} + \frac{9}{2} \times ( \frac{\frac{x}{x+1}- \ln(x+1)}{x^2})Cm(x)=41+29×(x2x+1xln(x+1))

    Cm′(x)=14+92x2×(xx+1−ln⁡(x+1))C'_m(x) = \frac{1}{4} + \frac{9}{2x^2} \times ( {\frac{x}{x+1}-\ln(x+1)})Cm(x)=41+2x29×(x+1xln(x+1))

    Cm′(x)=14+12x2×9xx+1−12x2×9ln⁡(x+1))C'_m(x) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2x^2}\times \frac{9x}{x+1} - \frac{1}{2x^2}\times 9\ln(x+1))Cm(x)=41+2x21×x+19x2x21×9ln(x+1))

    j'ai fait exprès de le laisser comme ça pour qu'on puisse répondre directement a la question d'après

    2x2Cm′(x)=x22+9xx+1−9ln⁡(x+1)=f(x)2x^2C'_m(x)= \frac{x^2}{2} + \frac{9x}{x+1} - 9\ln(x+1) = f(x)2x2Cm(x)=2x2+x+19x9ln(x+1)=f(x)

    donc f(x)2x2=C′m(x)\frac{f(x)}{2x^2} = C'm(x)2x2f(x)=Cm(x)


  • M

    pour le sens de variations de C_m on étudie le signe de la dérivée ... le signe de la dérivée est le signe de f(x)

    donc on sait que
    pour x=a on a f(x)= 0

    donc pour x < a on a f(x) < 0 et pour x > a on a f(x) > 0

    alors C'_m < 0 pour x=a et C'_m > 0 pour x > a

    alors la focntion C_m est décroissante sur ]0;a] et croissante sur [a;5]

    pour la suite on a la valeur minimale pour C'_m(x)=0 soit pour x=a

    donc ta valeur c'est pour x=a


  • L

    Donc j'ai compris mais la réponse de la 3 c quoi alors
    3/ Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un cout moyen minimal, exprimé en euros par tonne ? Quel est ce cout?


  • L

    3,7 c quoi c le cout moyen ou le cout?


  • M

    c'est pour "a "
    relis mon post de 01h13 la fin


  • L

    3,7 = a = la production pr cout moyen? et 2,8 que j'ai trouvé c le cout?


  • M

    la fonction C_m a pour minimum C_m(a) car la dérivée s'annule pour x=a
    oui je trouve aussi 2,8 🆒


  • M

    oui production = a
    cout moyen = 2,8


  • L

    Donc pr repondre a la question 3 je met quoi? la fille qui es perdue


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