dm nombre complexe

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	dm nombre complexe

Amel	Envoyé: 02.01.2007, 14:07
Constellation enregistré depuis: jan. 2006 Messages: 73 Status: hors ligne dernière visite: 03.01.07	Bonjour tout le monde!! J'ai une succession d'exercices a rendre pour la rentrée!! en voici un que je n'arrive pas à faire!! On considère dans C les complexes z₁ et z₂ de module 1 et d'arguments respectifs α et β. Montrer que (z₁ +z₂ )² / z₁ z₂ est un réel positif ou nul. Alors j'ai commencé par ecrire z₁= 1(cos α+isin α ) =e^iα et z₂= 1(cosβ+i sinβ ) = e ^iβ d'ou z₁ z₂= e^iα e^iβ= e^{i(α+β )} Mais je ne sais pas si cela me sert à quelque chose car je n'arrive pas à avancer!! merci de me débloquer!!


miumiu	Envoyé: 02.01.2007, 18:08
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	coucou oui alors j'avais posté quelque chose mais ça servait à rien lol et bien c'est bon ce que tu as fait tu peux continuer $\frac{(z1 +z2 )^2}{ z1\times z2} =\frac{(e^{ia}+e^{ib})^2}{e^{i(a+b )}$ tu développes le numérateur ... tu simplies en utlisant le fait que $\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$ ensuite tu repasses a la forme $(\text{cos}\theta+i \text{sin}\theta )$ et tu utilises tes formules de trigo

Amel	Envoyé: 02.01.2007, 20:21
Constellation enregistré depuis: jan. 2006 Messages: 73 Status: hors ligne dernière visite: 03.01.07	Alors j'ai commencé a devellopé le numérateur ce qui me donne: ^{(e^{iα )}}2 + 2e^{i(α+β )} + ^{(e^iβ)}2 ÷ e^{i(α+β )} simplement apres pour uitiliser e^a ÷ e^b= e^{(a-b )} je n'y arrive pas parce que j'arrive pas à regouper le numérateur!

miumiu	Envoyé: 02.01.2007, 20:28
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	bon alors tu peux faire "entrer" le carré dans l'exponentielle et ensuite tu peux simplifier $\frac{2e^{i(a+b )}}{e^{i(a+b )}}$ ensuite tu peux dire que $\frac{e^{2ia }}{e^{i(a+b )}}=e^{ia-ib}$ ok ?! je vais trop vite?

Amel	Envoyé: 03.01.2007, 10:49
Constellation enregistré depuis: jan. 2006 Messages: 73 Status: hors ligne dernière visite: 03.01.07	Je m'étais trompée au premier message posté: 2e^iα + 2e^{i(α+β )} +2e^iβ ÷ e^{i(α+β )} A ce moment la je cherche comment regroupée tout ça modifié par : Amel, 03 Jan 2007 - 11:03

miumiu	Envoyé: 03.01.2007, 11:00
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	euh oui là je ne sais pas mais c'est bizarre lol $\frac{(e^{ia }+e^{ib })^2 }{e^{i(a+b )}}$ ⇔ $\frac{e^{2ia }+ e^{2ib }+2e^{i(a+b )}}{e^{i(a+b )}}$ ⇔ $\frac{e^{2ia }}{e^{i(a+b )}} + \frac{e^{2ib }}{e^{i(a+b )}} + \frac{2e^{i(a+b) } }{e^{i(a+b )}}$ ⇔ $e^{(2ia-i(a+b)) } + e^{(2ib-i(a+b)) } + 2$ ok?!

Amel	Envoyé: 03.01.2007, 11:10
Constellation enregistré depuis: jan. 2006 Messages: 73 Status: hors ligne dernière visite: 03.01.07	Oh que je suis bête, j'avais pas pensé à séparer chaque membre avec le dénominateur Donc au finale je trouve: e^{i(α-β )} + e^{i(β-α )} + 2 est -ce ça??

miumiu	Envoyé: 03.01.2007, 11:17
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	yes très bien maintenant tu repasses a la forme avec $e^{i\theta}=cos\theta+ i \sin\theta$ tu ne sépare pas $\alpha$ et $\beta$ hein !! pas encore

Amel	Envoyé: 03.01.2007, 11:31
Constellation enregistré depuis: jan. 2006 Messages: 73 Status: hors ligne dernière visite: 03.01.07	Alors cela me donne: = cos(α-β ) + i sin (α-β ) + cos(β-α )+ isins(β-α ) +2 ensuite je peux mettre en facteur cos et isin = cos[(α-β )+(β-α )] + isin [(α-β ) +(β-α )] + 2 Ainsi j'obtiens: = cos 0+ isin 0 +2 = 3 en espérant que se soit ça!!!

miumiu	Envoyé: 03.01.2007, 11:37
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	c'est quoi cette horreur mdr alors pour toi $cos(\frac{\pi}{4}) +cos(\frac{-\pi}{4}) = 1$ ????!!!! lol nan tu utlises la trigo normale cos(a-b)=cos a . cos b + sin a .sinb... modifié par : miumiu, 03 Jan 2007 - 11:39

Amel	Envoyé: 03.01.2007, 11:48
Constellation enregistré depuis: jan. 2006 Messages: 73 Status: hors ligne dernière visite: 03.01.07	Nan c'est vrai!! sa me semblait un peu trop facile pour que se soit le cas on va dir que c'est à cause des vacances!! :D Alors = cos a.cos b +sin a.sin b + i( sin a.cos b - sin b.cos a) + cos a.cos b + sin a.sin b + i(sin a.cos b - sin b.cos a) + 2 modifié par : Amel, 03 Jan 2007 - 11:50

miumiu	Envoyé: 03.01.2007, 11:55
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	oui mais nan c'est bien pour le début mais pas pour la fin !!! regarde bien ton post de 11h31 ta première ligne Alors = cos a.cos b +sin a.sin b + i( sin a.cos b - sin b.cos a) + cos a.cos b + sin a.sin b + i(sin b.cos a - sin a.cos b) + 2 et maintenant tu peux simplifier modifié par : miumiu, 03 Jan 2007 - 11:55

Amel	Envoyé: 03.01.2007, 12:11
Constellation enregistré depuis: jan. 2006 Messages: 73 Status: hors ligne dernière visite: 03.01.07	Ah oui j'avais inversé....désolé!! Il faut que je mette α et β en facteur??

miumiu	Envoyé: 03.01.2007, 12:46
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	nan nan [...]= cos a.cos b +sin a.sin b + i( sin a.cos b - sin b.cos a) + cos a.cos b + sin a.sin b + i(sin b.cos a - sin a.cos b) + 2 =2cos a.cos b + 2sin a.sin b + i( sin a.cos b) -i (sin b.cos a)+ i(sin b.cos a) -i(sin a.cos b) + 2 bon tu as vu là quand même lol

Amel	Envoyé: 03.01.2007, 12:53
Constellation enregistré depuis: jan. 2006 Messages: 73 Status: hors ligne dernière visite: 03.01.07	mais tout à l'heure vous ( ou tu) m'avez dit que je n'avais pas le droit de simplifier...c'est pas la même chose ici? j'ai le droit de barrer ce qu'il y a en rouge et bleu?? j'avoue que je suis un peu perdue là!!

Amel	Envoyé: 03.01.2007, 12:56
Constellation enregistré depuis: jan. 2006 Messages: 73 Status: hors ligne dernière visite: 03.01.07	Bon si je simplifie à la fin je trouve: = 2[ cos ( a -b) ] modifié par : Amel, 03 Jan 2007 - 12:56

miumiu	Envoyé: 03.01.2007, 13:02
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	lol :D ("tu" au fait please je ne suis pas ta prof ;) ) tu n'as pas le droite de dire que cos(a)+cos(-a)=cos(a-a)=1 je t'ai donné un contre exemple tu ne peux pas faire tout ce que tu veux avec les cos et les sin par contre - (blabla) + (blabla) = 0 ça c'est toujours vrai XD si t'avais eu avant -cos(a)+cos(a) t'aurais pu dire = 0 mais ce n'était pas le cas oui si tu veux simplifier tu peux le faire mais de toute façon tu peux t'arréter à l'étape d'avant puisque la question c'est prouvé que le résultat est un réel il manque le +2 au fait [...]=2[ cos ( a -b) ]+2

miumiu	Envoyé: 03.01.2007, 13:05
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	on aurait pu aller plus vite d'ailleurs en utilisant le fait que cos(-x) = cos(x) : Fonction paire sin(-x) = -sin(x) : Fonction impaire mais bon ...

Amel	Envoyé: 03.01.2007, 13:12
Constellation enregistré depuis: jan. 2006 Messages: 73 Status: hors ligne dernière visite: 03.01.07	ah d'accrod!!!merci pour l'hisoire du : "si t'avais eu avant -cos(a)+cos(a) t'aurais pu dire = 0 mais ce n'était pas le cas" j'ai compris ma bêtise!!! donc pour conclure je dis que le cosinus est toujours compris entre -1 et 1 et donc ben comme deux est tjrs superieur à zero ce ne peut qu'etre un reel positif ou nul!! bon c'est pas tres frncais! mais est ce que en gros c'est sa?

miumiu	Envoyé: 03.01.2007, 13:19
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	oui voilà en gros c'est ça XD si tu veux pour faire classe tu peux mettre tout ça sous forme d'inégalité $-1\le cos(a-b) \le1$ ⇔ $-2\le 2cos(a-b) \le 2$ ⇔ $0 \le 2cos(a-b) + 2 \le 4$ comme ça tu n'as même pas besoin de te casser la tête pour trouver une phrase mdr

Amel	Envoyé: 03.01.2007, 13:22
Constellation enregistré depuis: jan. 2006 Messages: 73 Status: hors ligne dernière visite: 03.01.07	ah ouai c'est pas bête!! en tout cas merci beaucoup "miumiu", tu m'as été d'une grande aide!! sans indiscretion tu fais quoi dans la vie? futur professeur de maths? modifié par : Amel, 03 Jan 2007 - 13:23

miumiu	Envoyé: 03.01.2007, 13:26
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	lol ;) nan je préfère faire des maths pour mon plaisir... et puis tout le monde ne peut pas être prof j'ai 18 ans je suis en fac de ... bio XD de rien pour l'aide ;) ++++ modifié par : miumiu, 03 Jan 2007 - 13:29