n divise 1^k + 2^k + ... + (n-1)^k (ex-Dém. d'une propriété de spé)

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Racine :: Le Math-Forum :: Terminale S :: n divise 1^k + 2^k + ... + (n-1)^k (ex-Dém. d'une propriété de spé)

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	n divise 1^k + 2^k + ... + (n-1)^k (ex-Dém. d'une propriété de spé)

Bbygirl	Envoyé: 11.12.2006, 19:18
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	Salut à tous, j'ai la propriété suivante à démontrer et vraiment je ne sais pas par quel bout commencer. Voici l'énoncé : *Quels que soient n et k deux entiers naturels impairs* , la somme $1$1^k + 2^k + ... + (n-1)^k$ est multiple de n*. Merci d'avance à tous ceux qui pourront m'aider. modifié par : Zauctore, 13 Déc 2006 - 23:00*


Zorro	Envoyé: 11.12.2006, 21:46
Modératrice enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 5202 Status: hors ligne dernière visite: 07.09.08	Bonjour, C'est vrai que ce n'est pas évident ! Tout ce que je trouve sur le net comme démonstration est assez hot ! Je continue de chercher, mais je ne suis pas certaine de trouver quelque chose de simple parce que les formules sont complexes. Au fait as-tu essayé la récurrence ? Je n'y avais pas pensé mais peut-être que cela marche.

Bbygirl	Envoyé: 11.12.2006, 22:41
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	J'ai essayé de prendre plusieurs exemples pour voir un peu comment cela marche mais je ne sais pas comment faire un raisonnement par récurrence. Mes profs au lycée m'en ont vaguement parlé mais sans nous expliquer comment on fait ce genre de raisonnement .

miumiu	Envoyé: 11.12.2006, 22:49
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	coucou ah oui ba si on ne t'en a pas parlé ça ne doit pas être ça... c'est quoi le chapitre de spé où vous êtes ??? (je n'ai pas fait spé maths mais c'est pour t'aider a chercher ;))

Zorro	Envoyé: 11.12.2006, 22:56
Modératrice enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 5202 Status: hors ligne dernière visite: 07.09.08	Oublie mon idée ! La récurrence tu verras cela dans le chapitre sur les suites dans la partie non spé du programme. Je croyais qu'on voyait cette notion en 1ère.

miumiu	Envoyé: 11.12.2006, 23:01
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	moi non plus je ne me souviens plus trop je croyais aussi (ça fait deux ans quand même mdr) est-ce qu'elle est pour demain ta démonstration???? Et est-ce qu'elle porte un nom au fait?? modifié par : miumiu, 11 Déc 2006 - 23:02

Bbygirl	Envoyé: 11.12.2006, 23:52
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	En fait c'est pour jeudi et c'est un élève de ma classe qui a remarqué cette "propriété" et mon prof a eu la bonne idée de nous la donner à démontrer en DM. donc il lui a donné le nom de l'élève qui lui a posé la question. Je ne pense pas que ce soit très utile. Je suis dans le chapitre sur l'arithmétique.

miumiu	Envoyé: 12.12.2006, 09:20
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	ok d'accord ba on a encore un peu le temps alors je pense que Z ou Thierry te trouveront un truc ;)

Thierry	Envoyé: 12.12.2006, 14:09
Webmaster enregistré depuis: jui. 2004 Messages: 1904 Status: hors ligne dernière visite: 07.09.08	Salut, Je pense à un grand classique de 1ere S. Il existe un polynôme de degré k+1 tel que P(x+1)-P(x)=x^k. Cela est sans doute possible de démontrer qu'un tel polynôme existe pour tout k entier. (Zauctore sait forcément faire ça). Ensuite je connais la suite par coeur : il faut faire une somme en cascade pour x=0 ; 1 ; ... ; n Pour k=1 et k=2, la méthode est expliquée dans cet exercice et est facilement généralisable. Ca m'a l'air jouable non ? Qu'en pensez-vous ? Thierry Prof de math à Paris.

Bbygirl	Envoyé: 12.12.2006, 18:49
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	Oula ca m'a l'air très compliqué tout ca. En fait je ne sais pas si c'est faisable mais notre prof nous avait donné un exemple numérique pour nous expliquer comment il fallait qu'on s'y prenne. L'exemple me parait assez simple à comprendre mais quand il s'agit de le généraliser c'est autre chose. Voici de quoi il s'agit : On choisit n=7 et k=19. On a donc 1¹⁹+2¹⁹+3¹⁹+4¹⁹+5¹⁹+6¹⁹. De plus , 1¹⁹= 1¹⁹ (mod.7) 2¹⁹=2¹⁹ (mod.7) 3¹⁹= 3¹⁹ (mod.7) 4¹⁹= (-3)¹⁹ (mod.7) = -3¹⁹ (mod.7) car la puissance est impaire. 5¹⁹= -2¹⁹ (mod.7) 6¹⁹= -1¹⁹ (mod.7) Donc lorsqu'on fait la somme de tout ca, elle congrue à 0 (mod.7) ce qui montre que cette somme est multiple de n=7. Mon problème est donc de généraliser cette méthode si c'est possible. P.S: le signe avec les 3 barres pour exprimer les congruences ne fonctionne pas avec mon ordinateur ce qui explique pourquoi j'ai mis des signes = à la place. modifié par : Bbygirl, 12 Déc 2006 - 18:50

stuntman78	Envoyé: 13.12.2006, 18:15
Voie lactée enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 93 Status: hors ligne dernière visite: 08.03.07	pour le moment je crois qu'en plus il n'y a que la personne qui a fait cette remarque qui l'a fait et qui y arrive les autres bas .... comme nous .... il cherche ..... en vain lol PS: jolie muimui le bonhome de neige mais je preferais ton pere noel ^^ encore merci thierry d'avoir mit ma bannière dans les bannières du forum :):):):)

Zauctore	Envoyé: 13.12.2006, 19:52
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3372 Status: en ligne	L'indication n, k impairs est importante car si l'on prend n = 6 et k = 5, alors on a $1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 \equiv 1^5 + 2^5 + 3^5 - 2^5 - 1^5 \equiv 3^5 \ne 0 \ [6]$ le problème vient de ce qu'il y a un terme "de trop" dans cette somme, qui ne trouve donc pas son opposé parmi les autres. Il suffirait de montrer que dans les bonnes conditions, ie avec n, k impairs, alors pour tout 1 ≤ x ≤ n-1, il existe un unique 1 ≤ y ≤ n-1 tel que x + y = 0 [n]. Car alors, puisque l'exposant est impair, on aura aussi x^k + y^k = 0 [n]. Je ne sais pas si je suis clair... Donc (pour reformuler) si je prends un x entre 1 et n-1, est-ce qu'il y a automatiquement un y entre 1 et n-1 qui lui soit opposé modulo n ? Ecrivons n = x + (n - x) : cela donne la réponse (modulo n, bien sûr). modifié par : Zauctore, 13 Déc 2006 - 19:55

Bbygirl	Envoyé: 13.12.2006, 20:11
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	D'accord. mais est-ce que je peux dire cela de cette manière : La somme dont on parle comporte n-1 termes, or puisque n est impair, n-1 est pair donc cette somme comporte un nombre pair de termes. De plus, $1$ 1^k = 1^k (mod.n)$ $1$ 2^k = 2^k (mod.n)$ $1$ 3^k = 3^k (mod.n)$ . . . . $1$ (n-3)^k = (-3)^k (mod.n) = -3^k (mod.n)$ car k est impair. petite explication pour ce résultat: n=0 (mod.n) et -3=-3 (mod.n) donc d'après une propriété du cours, n-3 = 0-3 (mod.n)= -3 (mod.n) . Ensuite, toujours d'après une propriété du cours, $1$ (n-3)^k=(-3)^k (mod.n)$ car k est un entier naturel $1$ (n-2)^k = -2^k (mod.n)$ $1$ (n-1)^k = -1^k (mod.n)$ Ainsi, la somme congrue à 0 modulo n donc cette somme est bien un multiple de n, pour n et k impairs.

stuntman78	Envoyé: 14.12.2006, 18:15
Voie lactée enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 93 Status: hors ligne dernière visite: 08.03.07	oui bien vu c'est effectivement comme ca qu'il fallait faire je pense du moins c'est gros au modo comment j'ai fait encore merci thierry d'avoir mit ma bannière dans les bannières du forum :):):):)

Bbygirl	Envoyé: 14.12.2006, 18:22
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	ouf ca me rassure. De toute façon maintenant c'est rendu donc on verra bien le résultat

miumiu	Envoyé: 14.12.2006, 18:41
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	a ba vous nous donnerez la réponse si ce n'est pas ça hein?! :):)

Bbygirl	Envoyé: 14.12.2006, 18:43
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	Oui, il n'y a pas de problème on devrait avoir la réponse demain normalement.

stuntman78	Envoyé: 14.12.2006, 18:50
Voie lactée enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 93 Status: hors ligne dernière visite: 08.03.07	ouai effectivement demain on doit avoir le coriger on aurais du lavoir aujourd'hui mais a cause des retardataire bas il a decaler la distribution des corrigé a demain lool encore merci thierry d'avoir mit ma bannière dans les bannières du forum :):):):)

miumiu	Envoyé: 14.12.2006, 18:54
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	flood : looooooooooooooooooool stuntman je suis trop jalouse sérieux mdr

stuntman78	Envoyé: 14.12.2006, 19:05
Voie lactée enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 93 Status: hors ligne dernière visite: 08.03.07	merci ^^ encore merci thierry d'avoir mit ma bannière dans les bannières du forum :):):):)

stuntman78	Envoyé: 15.12.2006, 19:14
Voie lactée enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 93 Status: hors ligne dernière visite: 08.03.07	comme prévu je vous en donne le corrigé: La somme 1^k+2^k+...+(n-1)^k contient un nombre pair de termes (n-1) Si on note : $a=\frac{n-1}{2}$ on peut remarquer que $a+1=\frac{n+1}{2}=n-\frac{n-1}{2}=n-a$ Ainsi 1^k+2^k+...+(n-1)^k =1^k+2^k+...+a^k+(n-a)^k+(n-a+1)^k+...+(n-1)^k = $\sum_{i=1}^{a} {i^{k}}$ + $\sum_{i=1}^{a} {(n-i)^{k}}$ = $\sum_{i=1}^{a} {i^{k}}$ + $(n-i)^{k}$ Or quel que soit i∈[1,a] ( intervale de nombre entier) n-i≡-i(n) et (n-i)^k≡-i^k(n) (car k impaire) Donc i^k+(n-i)^k≡0(n) Ainsi 1^k+2^k+...+(n-1)^k≡0(n) CONCLUSION : Quels que soient n et k deux entiers naturels impaires,la somme 1^k+2^k+...+(n-1)^k est multiple de n modifié par : miumiu, 15 Déc 2006 - 19:52 encore merci thierry d'avoir mit ma bannière dans les bannières du forum :):):):)

miumiu	Envoyé: 15.12.2006, 19:44
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	a ba c'est cool ça va faire plaisir à Zorro, à Zauctore et au chef lol perso je pense avoir compris la première partie mais les congruences... bon faut que je m'y mette aux congruences lol en tous cas merci Stuntman ;)

stuntman78	Envoyé: 15.12.2006, 20:58
Voie lactée enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 93 Status: hors ligne dernière visite: 08.03.07	bas merci mon prof de spe d'avoir donner un corriger mdr et merci a celui qui a fait le commentaire en cours MDR je ne suis que le messager encore merci thierry d'avoir mit ma bannière dans les bannières du forum :):):):)