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Partiel terminal...un petit avant goût... |
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nelly
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Envoyé: 13.05.2005, 09:07
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Cosmos
enregistré depuis: mar. 2005
Messages: 392
Status: hors ligne
dernière visite: 26.05.08
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Salut tout le monde!
Voilà, cette semaine et la suivante sont pour moi des semaines de partiels! et comment dire...j'avais envie de vous faire partager ce moment très privilégié...
Installez vous confortablement dans votre siège, restez calme(pour l'instant...)...et attention vous n'avez que 2h pour faire TOUT!!!(c'est le temps que j'ai eu pour tout faire...sachant que c'était lundi 9 à 8h...bonjour le réveil!)
Licence 1ère année MASS
Analyse Générale:
(Documents et calculatrices non autorisés)
Exercice 1:
On considère l'application f définie sur ]1;+infini[ par:
f(x)=[x(x²+1)]/(x²-1)
1°) Montrer qu'il existe 2réels A et B tels que:f(x)=x+A/(x-1)+B/(x+1)
En déduire l'intégrale de f(x) sur [racine2;2]
2°)Montrer que l'application x associe f(x)/x admet un développement limité à l'ordre 2 en +infini.(noté DL2(+infini) )
En déduire que la courbe Cf de l'application f admet une droite aymptote en +infini et donner son équation. Préciser la position de Cf par rapport à son asymptote.
Exercice 2:
1°)Calculer à l'aide d'une intégration par partie: int(xe^x)dx
2°)Montrer en utilisant le cha,gement de variables u=e^(-x) que:
int(1/(e^x +1))dx=ln((e^x)/(e^x +1))+K , K appartenant à R
3°) Résoudre sur R l'équation différentielle:
(e^x +1)y' - y = xe^(2x)
Trouver la solution y vérifiant y(1)=0
4°)a) Ecrire le DL1(0) de la fonction X |--> 1/(1+(X/2)), puis celui de la fonction X |--> 1/(2+X)
En déduire le DL1(0) de la fonction x |--> 1/(e^x +1)
b) Déterminer le DL2(0) de l'application h définie sur R par:
h(x)=ln((e^x)/(e^x +1))
En déduire l'équation de la droite tangente au point d'abscisse 0 à la courbe Ch de l'application h. Préciser la position de Ch par rapport à cette tangente.
Exercice 3:
On considère une application g:R --> R deux fois dérivable telle que:
quelque soit x appartenant à R, |g(x)| < ou = 1 et |g''(x)|< ou=1
Soit x appartenant à R. Justifier que l'on peut appliquer la formule de Taylor à l'ordre 2 à l'application g sur l'intervalle [x; x+2]
En déduire que quelque soit x appartenant à R, |g'(x)|<ou=2
Voilà!!!!C'est pas que je tienne impérativement à avoir la solution...mais comme j'ai bataillé et que je ne suis pas sûre de mes résultats, je voulais avoir votre opinion, votre avis,...
Voilà...mais ne vous inquiétez pas:il y en a d'autres plus pire que ça!
Je vous laisse mijoter à petit feu...
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flight
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Envoyé: 13.05.2005, 17:40
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Cosmos
enregistré depuis: fév. 2005
Messages: 530
Status: hors ligne
dernière visite: 28.10.07
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pour la première question j'ai fait une divison euclidienne de (x^3+x)/(x²-1) histoire de degrossir l'affaire et j'ai obtenu x(x²+1)=(x²-1)x+2x
en divisant les 2 membres de cette équation par (x²-1) , on obtient :
x(x²+1)/(x²-1)=x+2x/(x²-1) , il ne reste plus que de la finition à effectuer sur 2x/(x²-1) qu'on peut decomposer en elements simple, soit:
2x/(x²-1)=a/(x-1)+b/(x+1) il reste plus qu'a trouver a et b pour se faire je multiplie les 2 mbres de cette équation par (x-1) et je donne à x la valeur 1 soit 2x/(x+1)=a+b(x-1)/(x+1) comme x=1 on a ; a=1
en procedant de meme pour b (en multipliant par (x+1) et en donnant à x la valeur -1, on obtient b=1.
soit x(x²+1)/(x²-1)=x+1/(x-1)+1/(x+1).
je te donnerai mes solution pour la suite mais l'integrale demandée pour la suite faire apparaitre du logarithme (j'en suis sur)
a+
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flight
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Envoyé: 13.05.2005, 20:33
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Cosmos
enregistré depuis: fév. 2005
Messages: 530
Status: hors ligne
dernière visite: 28.10.07
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.....En integrant x(x²+1)/(x²-1)=x+1/(x-1)+1/(x+1), on obtient pour primitive:
F(x)=(1/2)x²+ln(x-1)+ln(x+1) comme lna+lnb=ln(ab)
F(x)=(1/2)x²+ln(x²-1).
Pour les DL c'est du cours pas de difficultés.
Pour la position de Cf par rapport à l'asymptote il suffit de determiner le signe de f(x)-equation de l'asymptote=e(x) avec lime(x) quand x tand vers l'inifini=0, ce qui permettra de dire f(x) est au dessus (resp en dessous) de l'asymptote.
exercice 2 (equa diff)
avec la méthode de variation de la constante ca va tres vite.
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