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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Fin 

équations différentielles (condensateur, polynomes, courant dans conducteur)

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
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Envoyé: 30.11.2006, 20:16

Constellation


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Bonjour tout le monde !!! icon_smile Voila je vien vous embéter un petit peu !!! J'ai quelques problèmes pour faire mes exercices !! icon_frown Bon je suis quand même arrivée à faire quelques questions !! Donc voila est-ce que vous pourriez me dire si ce que j'ai fais est juste icon_confused Et pour ce que je ne suis pas arrivée à faire pourriez vous m'aider à commencer ou me donner des pistes icon_confused
Merci d'avance

Exercice 1


On s'intéresse à l'évolution de la tension aux bornes du condensateur durant sa période de charge. A l'instant t0=0, le condensateur n'étant pas chargé, on a donc u(0)=0
On sait que la tension aux bornes du condensateur est une fonction de temps qui vérifie :
u(t) +RC.u(t)' = E

τ= RC E=6V R=1kΩ C=1μF

1)déterminer la fonction u(t) et la représenter graphiquement
2)Montrer qu'au bout de 5τ le condensateur est chargé à plus de 99%


Exercice 2


On considère les deux équations différentielles :

y' + 2y = 2x² -1 (E) y' + 2y = 0 (F)

1)Déterminer une fonction polynome P0 de degré inférieur ou égal à 2 solution de l'équation (E)
2)Résoudre (F)
3)Montrer qu'une fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction f-P0 est solution de (F)
4)En déduire l'ensemble des fonctions solutions de l'équation (E)



Exercice 3


On fait passer du courant d'intensité constante dans un conducteur. Par effet joule ce conducteur s'échauffe et on note θ(t) sa température en degré celsius à l'instant t. A t=0 la température est de 0°C. Le bilan énergétique se traduit par l'équation
θ'+20k θ =2
k est une constante qui dépend du conducteur.

1)Cas où k=0
a) déterminer θ(t) en fonction de t
b) A quel instant la température du conducteur atteint 20°C ?

2)Cas où k=5*10-3
a) expliquer pourquoi θ(t)=20(1-℮-0,1t)
b) donner l'équation de la tangente T à l'origine
c) déterminer à l'aide de la calculatrice la valeur approchée du temps nécessaire pour que la température atteigne 19°C.




Voila ce que j'ai fais :(j'ai fais l'exercice 1 en entier le 2 je ne sais pas comment calculer une équation différentielle égale à une fonction icon_frown et le 3 je n'est pas fais le cas numéro 1) car si k=0 &952;#'=2 icon_frown alors je comprend pas )

Exercice 1
1) u(t)+103*106*u'(t)=6
u(t)+10-3*u'(t)=6
10-3*u'(t)=-u(t)+6
u'(t)=(-u(t)+6)/10-3

u(t)=Ke-t/10-3+(6/10-3)/(1/10-3)

0=Ke0+6
-6=K

u(t)=6(1-e-t/10-3)


Je vous envoi le reste de ce que j'ai fais un peu plus tard parce que j'ai du mal à le taper icon_frown

[un peu de sobriété dans le choix des couleurs, svp, N.d.Z.]

modifié par : Zauctore, 30 Nov 2006 - 22:51
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Envoyé: 30.11.2006, 20:33

Cosmos
miumiu

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j'adore tes exos Zoè je m'occupe de toi tout de suite :)
merci Z pour l'info ;)
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Envoyé: 30.11.2006, 20:51

Cosmos
miumiu

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ok
alors pour le 2 tu as fais quoi?
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Envoyé: 30.11.2006, 21:14

Constellation


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pour l'exercice 2 j'ai fait:

2) y'+2y=0
y= k e-2x k∈R

après je ne sais pas comment faire pour les autres questions icon_confused

pour l'exercice 1 j'ai fait :

2) T=10-3secondes
5T=5*10-3secondes
u(5T)=u(5*10-3)=6*(1-e(-5*10-3)/10-3
c'est égal à environ 5.9595

(5.9595*100)/6≈99.33%

pour l'exercice 3

1) k=0
θ'+20*0*θ=2
θ'=2

et là je bloque...

2) k=5*10-3

θ'+20*5*10-3θ=2
θ'+ 1/10 θ=2

θ=He-1/10t+2/(1/10) H∈R
θ=He-1/10t+20

comme θ(0)=0

0=He0+20
H=-20

θ=-20e-1/10t+20
θ=20(1-e-1/10t)


T=θ'(0)(x-0)+θ(0)
=2(x-0)
=2x

u(p)=19°C
p≈29.95

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Envoyé: 30.11.2006, 21:36

Constellation


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voila si ya quelque chose qui n'est pas clair dites moi le icon_smile merci beaucoup pour votre aide !!!
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Envoyé: 30.11.2006, 23:02

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Dans l'exercice 2, il y a cette question que tu sembles ne pas avoir faite :

Citation
1)Déterminer une fonction polynome P0 de degré inférieur ou égal à 2 solution de l'équation (E) : y' + 2y = 2x² -1.


Donc P = ax² + bx + c qui serait solution de (E)... P' = 2ax + b ; remplaçons :

2ax + b + 2ax² + 2bx + 2c = 2x² - 1, valable pour tout x.

donc a = 1 ; donc b = -1 et c = -1/2.
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Envoyé: 30.11.2006, 23:10

Cosmos
miumiu

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coucou!!
je suis désolée de te répondre si tardivement j'étais occupée sur une autre convers qui n'a pas abouti d'ailleurs
ta présentation et nickel bravo j'aime beaucoup :)

Citation
Exercice 2
On considère les deux équations différentielles :

y' + 2y = 2x² -1 (E) y' + 2y = 0 (F)

1)Déterminer une fonction polynome P0 de degré inférieur ou égal à 2 solution de l'équation (E)
2)Résoudre (F)
3)Montrer qu'une fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction f-P0 est solution de (F)
4)En déduire l'ensemble des fonctions solutions de l'équation (E)



1) j'ai trouvé ça marche :) moi c'est du feeling (long) mais Z c'est la classe lol

par contre mon cher petit Z je crois que tu t'es trompé c=0 mais bon il ne faut pas lui en vouloir je le fatigue mdr

2) ok

3) est solution de (E)
donc







... je te laisse continuer c'est presque fini :)

4)pour tout

pour tout


tu continues ce n'est plus très long :)


modifié par : miumiu, 01 Déc 2006 - 00:14
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Envoyé: 01.12.2006, 00:13

Cosmos
miumiu

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Pour l'exo 3)
Citation
1) k=0
θ'+20*0*θ=2
θ'=2

et là je bloque...

mais nan tu ne bloques pas tu réfléchis trop mdr
θ'=2
donc alpha pour tout
mais a t=0 on a donc

alors pour une température de 20°C on a ...

2) a/ nickel
b/nickel
c/je ne sais pas comment tu as fait mais je trouve comme toi :)
c'est très bien
j'espère que je n'ai pas répondu trop tard
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Envoyé: 01.12.2006, 14:04

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Zauctore

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Attends : avec c = -1/2

(x² - x - 1/2)' + 2(x² - x - 1/2) = 2x - 1 + 2x² - 2x - 1 = 2x² + 1 ≠ 2x² - 1

ah oui tu as raison

alors que si c = 0, on a

(x² - x)' + 2(x² - x) = 2x - 1 + 2x² - 2x = 2x² - 1

là oui (j'aurais dû vérifier).

Ah oui, c'est en identifiant : j'ai oublié la valeur de b pour finir avec le calcul de c...
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Envoyé: 01.12.2006, 14:35

Cosmos
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Zauctore

là oui (j'aurais dû vérifier).

Ah oui, c'est en identifiant : j'ai oublié la valeur de b pour finir avec le calcul de c...

j'aimerais dire quelque chose mais nan en fait je vais me taire c'est mieux pour moi
icon_lol icon_lol icon_biggrin
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Envoyé: 01.12.2006, 16:19

Constellation


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lol ok merci !! dsl de ne pas avoir répondu plus tôt mais j'étais en cours !!! icon_razz merci pour vos aides !! Je vais appliquer tout ça maintenant et je reviendrai vous montrer ce que j'ai fais !!! icon_smile

Encore merci beaucoup c'est super sympa icon_wink icon_smile
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Envoyé: 01.12.2006, 16:37

Constellation


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pour l'exo 3 1)
je comprend pas pourquoi on met que :
θ(x)=2t+α a∈ℜ
c'est une formule ça ? icon_confused
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Envoyé: 01.12.2006, 16:42

Constellation


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Ah non j'ai rien dit je vien de comprendre lol !!!! icon_biggrin
f(x)=2x
f'(x)=2

lol désolée... icon_smile
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Envoyé: 01.12.2006, 16:43

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miumiu

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mdr
et bien si ta dérivée c'est

ça veut dire que la fonction c'est par exemple


ou
lol

donc c'est pour ça que j'ai mis

pour

tu peux mettre ce que tu veux au lieu de

modifié par : miumiu, 01 Déc 2006 - 16:44
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Envoyé: 01.12.2006, 16:58

Constellation


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bon alor voilà ce que j'ai fais icon_biggrin :

Exercice 2

3) f solution de (E) donc :

f'+2f = 2x²-1
f'+2f = Po'+2Po
f'+2f-Po'-2Po = 0
(f-Po)' + (2f-2Po) = 0
(f-Po)' + 2(f-Po) = 0

donc on prend (f-Po)'=y' et 2(f-Po)=2y
donc
(f-Po)= k e-2x k∈R

4) pour tout x ∈ℜ

f-Po= k e-2x k∈R

donc f = -Po + k e-2x k∈R
= x²-x+k e-2x

l'ensemble des solutions de (E) on la forme de
f(x) = = x²-x+k e-2x


Exercice 3

1) k=0

θ(t)=2t+ a a∈ℜ

donc comme θ(0)=0

0=2*0+a
a=0

θ(t)=2t

par conséquent θ(?)=20°C

20=2t
t=10

θ(10)=2*10=20°

la température atteint 20°C à t=10 icon_smile



voilà !! Mais c'est pas tout en fait j'ai un autre exo à vous montrer lol icon_smile que j'ai pas trés bien compri !! Je vous embète encore un petit peu lol je vous l'envoi ...
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Envoyé: 01.12.2006, 17:13

Constellation


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Voilà l'exercice :

Dans une culture de microbes, le nombre de microbes à un instant t, exprimé en heures, peut être considéré comme une fonction y à valeurs réelles de la variable t. La vitesse de prolifération à l'instant t du nombre des microbes est la dérivée y' de cette fonction. On a constaté que :

y'(t)= k y(t) k∈ℜ k>0

On désigne N le nombre de microbes à l'instant t=0


1) Déterminer l'unique solution de l'équation différentielle y'=ky telle que y(0)=N

2) Sachant qu'au bout de 2heures le nombre de microbes a quadruplé, calculer en fonction de N le nombre de microbes au bout de 3 heures.

3) quelle est la valeur de N sachant que la culture contient 64000 microbes au bout de 5 heures ?

icon_eek


Voila ce que j'ai fais :

1)
y'(t)= ky(t)
donc y= A ekt A∈ℜ
comme y(0)=N
N=Ae0
A=N

donc y(t)=Nekt

2) au bout de 2heures on a 4N

y(2)=4Ne2kt

et là c'est le drame.... mdr... je bloque... icon_biggrin pour changer


3) Encore le drame je vois pas comment faire ... icon_frown
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Envoyé: 01.12.2006, 17:13

Cosmos
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Citation
3) f solution de (E) donc :

f'+2f = 2x²-1
f'+2f = Po'+2Po
f'+2f-Po'-2Po = 0
(f-Po)' + (2f-2Po) = 0
(f-Po)' + 2(f-Po) = 0

donc on prend (f-Po)'=y' et 2(f-Po)=2y
donc
(f-Po)= k e-2x k∈R

tu sais tu n'es pas obligée de faire tant de chichi lol tu peux juste mettre

f'+2f = 2x²-1
⇔f'+2f = Po'+2Po
⇔f'+2f-Po'-2Po = 0
⇔(f-Po)' + (2f-2Po) = 0
⇔(f-Po)' + 2(f-Po) = 0
⇔f-Po est solution de (F)

4) nickel

Citation
Exercice 3

1) k=0

θ(t)=2t+ a a∈ℜ

donc comme θ(0)=0

0=2*0+a
a=0

θ(t)=2t

par conséquent θ(?)=20°C

20=2t
t=10

θ(10)=2*10=20°

la température atteint 20°C à t=10

oui pour le raisonnenment mais pour la rédacation un peu moyen lol

Exercice 3

1) k=0

θ(t)=2t+ a pour a∈R

or pour t=0 on a θ(0)=0°C

0=2*0+a
donc a=0

alors θ(t)=2t pour tout t ∈ R

par conséquent pour θ(t)=20°C
on a :
20=2t
alors t=10

la température atteint 20°C à t=10


ok si tu as un autre exercice :)
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Envoyé: 01.12.2006, 17:15

Constellation


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merci pour la correction !!! je sais la rédaction c'est pas mon fort !!! icon_lol le prof me le reproche souvent...
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Envoyé: 01.12.2006, 17:23

Cosmos
miumiu

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zoé16
Voilà l'exercice :

Dans une culture de microbes, le nombre de microbes à un instant t, exprimé en heures, peut être considéré comme une fonction y à valeurs réelles de la variable t. La vitesse de prolifération à l'instant t du nombre des microbes est la dérivée y' de cette fonction. On a constaté que :

y'(t)= k y(t) k∈ℜ k>0

On désigne N le nombre de microbes à l'instant t=0


1) Déterminer l'unique solution de l'équation différentielle y'=ky telle que y(0)=N

2) Sachant qu'au bout de 2heures le nombre de microbes a quadruplé, calculer en fonction de N le nombre de microbes au bout de 3 heures.

3) quelle est la valeur de N sachant que la culture contient 64000 microbes au bout de 5 heures ?

icon_eek


Voila ce que j'ai fais :

1)
y'(t)= ky(t)
donc y= A ekt A∈ℜ
comme y(0)=N
N=Ae0
A=N

donc y(t)=Nekt

2) au bout de 2heures on a 4N

y(2)=4Ne2kt

et là c'est le drame.... mdr... je bloque... icon_biggrin pour changer


3) Encore le drame je vois pas comment faire ... icon_frown

ok
pourquoi tu as mis un t dans y(2)=4Ne2kt pour commencer,
je regarde pour la suite
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Envoyé: 01.12.2006, 17:26

Constellation


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je me suis trompée lol icon_frown c juste 2k
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Envoyé: 01.12.2006, 17:28

Voie lactée


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Pour les microbes :
1) Ok
2) Erreur : y(2) = 4N et tu remplace bien y(2) tu en déduit k et donc y(3) en fonction de N et de meme pour la question 4)
voilou;)
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Envoyé: 01.12.2006, 17:30

Cosmos
miumiu

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ensuite
c'est de la lecture de l'énoncé qu'il s'agit c'est pour ça qu'il faut être très en forme lol
donc à t=0 on a N microbes à t=2 on nous dit que le nombre a été multiplié par 4 donc a t=2 on a ... (a) microbes
ensuite en utilisant la formule
à t= 2
on a
y(2)=...(b)
donc (a)=(b)
tu peux trouver k et par conséquent la suite
ok ?!
si ce n'est pas clair il n'y a pas de soucis tu peux me le dire ;)

sorry begbi je n'avais pas vu ta réponse



modifié par : miumiu, 01 Déc 2006 - 17:32
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Envoyé: 01.12.2006, 17:43

Constellation


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ok merci pour vos réponses icon_smile
donc j'ai fais :

2) y(2)=4N

donc 4N= Ne2k
4 = e2k
ln(4) = ln( e2k)
ln(4) = 2k
k = ln(4)/2

donc k = ln(2)

par conséquent y(t)=N eln2t
=N*2t

C'est ça ?
Top 
Envoyé: 01.12.2006, 17:43

Voie lactée


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Pas de souci il vaut mieux expliquer deux fois qu'une!!:)
Tu n as plus d'excuse maintenant Zoé on attends ton resultat;)
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Envoyé: 01.12.2006, 17:45

Voie lactée


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Attention icon_evil
(ln4)/2 c est pas ln2!!!!!!!!
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Envoyé: 01.12.2006, 17:46

Voie lactée


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Arrfff si ta raison ca fait ln (4^0.5) lol
icon_lol
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Envoyé: 01.12.2006, 17:51

Voie lactée


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Bon y(t) = Neln2t ok
Mais attention eab≠eaeb
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Envoyé: 01.12.2006, 17:53

Cosmos
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zoé16
ok merci pour vos réponses icon_smile
donc j'ai fais :

2) y(2)=4N

donc 4N= Ne2k
4 = e2k
ln(4) = ln( e2k)
ln(4) = 2k
k = ln(4)/2

donc k = ln(2)

par conséquent y(t)=N eln2t
=N*2t

C'est ça ?


attention ce n'est pas ln(2t) mais (ln2) x t donc....
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Envoyé: 01.12.2006, 17:56

Constellation


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donc ça fait y(t)=N*2*lnt non ?
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Envoyé: 01.12.2006, 18:00

Voie lactée


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nan tjrs pas prends ton temps
rapel : KlnR = lnRK
puis elnK = K
voila la tu devrais quand meme y arriver au resultat!!
Top 
Envoyé: 01.12.2006, 18:01

Cosmos
miumiu

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nan quand
tu as x3 = ...
Top 
Envoyé: 01.12.2006, 18:02

Constellation


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ça fait y(t)=N*2*et ???? icon_eek icon_confused
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Envoyé: 01.12.2006, 18:04

Constellation


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ou y(t)=N*2t ??? je me mélange tout lol
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Envoyé: 01.12.2006, 18:06

Voie lactée


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C est a toi de me dire laquelle est la bonne reponse j attends
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Envoyé: 01.12.2006, 18:11

Constellation


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jpense que c'est y(t)=N*2t
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Envoyé: 01.12.2006, 18:13

Voie lactée


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Tu es sure ca fait pas parti des reponses que tu m as proposer précedement icon_mad
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Envoyé: 01.12.2006, 18:17

Cosmos
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x3= e3 ln x
pour x∈]0,+∞[
donc et ln2 =
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Envoyé: 01.12.2006, 18:18

Constellation


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mince j'ai pas mis l'exposant icon_eek mdr escusez moi lol

y(t)=N*2t je vais y arriver lol
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Envoyé: 01.12.2006, 18:19

Voie lactée


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ok maintenant ta fini oufffff icon_lol
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Envoyé: 01.12.2006, 18:21

Constellation


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dernière visite: 15.04.07
lol icon_lol enfin !!!

donc pour finir l'exo j'ai fais :

y(3)=N*23
=8N

2) y(5)=N*25
=32N

comme y(5)=6400
on a

6400=32 N

Donc N = 200

Voila icon_biggrin merci beaucoup à tout le monde c'est vraiment sympa !!! j'y serai jamais arrivée sans vous !! Je sais pas comment vous faites pour voir les choses comme ça !! Moi je vois jamais ce qu'il faut faire ou par quoi il faut commencer !!

Encore merci icon_wink bonne soirée à vous
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