Etudier une fonction exponentielle


  • M

    voila, j'ai un pti dm à afire pour mardi et j'ai de spetits problemes

    on définit la fonction g(x) par g(x)=exg(x)=e^xg(x)=ex(1-x)+1 sur [0;+oo[

    1.déterminer les limites en +oo et -oo

    1. etudier le sens de variation de g sur le meme intervalle et dresser le tableau de variation de g.

    2. montrer que g(x)=0 admet une solution unique dans ce meme intervalle, solution que l'on note alpha. montrer que 1.27<alpha<1.28.

    4.indiquer, en fonction de alpha, dans un tableau, le signe de g(x) pour x ∈[0;+oo[

    donc voila

    j'ai fait les 2 premieres questions donc il me faut juste une confirmation et ensuite j'aurais bvesoin d'aide pour la 3 et la 4.

    pour la 1. alors les limites en +oo je toruve -oo
    et les limites en -oo j'ai levé l'indertermination, etc.....
    pour la 2. docn j'ai dérivée g(x) et j'obtiens g'(x)= −xex-xe^xxex
    donc g'(x) est du signe de (-x) car exp est toujours positive
    donc dans le tableau, g(x) est décroissante sur [o;+oo[ et g'(x) est négative sur cette intervalle
    est ce que tout cela est juste jusque la??
    merci

    le deuxieme probleme c'est le suivant:

    sur [0;+oo[, on définit la fonction f par f(x)=x/exf(x)=x/e^xf(x)=x/ex+1

    1. en donnant exe^xex+1= eee^x(1+e−x(1+e^{-x}(1+ex), déterminer la limite en +oo.

    interpréter ce résultat grafiquement; C étant la repr graphique de la fonction f.

    1. alpha est solution de g(x)=0 donc en déduire que ealphae^{alpha}ealpha=1/alpha-1
      en déduire ensuite que f(alpha)=alpha-1.

    encadrer alors f(alpha)

    3.montrer que la fonction dérivée de f a meme signe que la fonction g.

    Dresser ensuite le tableau de variation de f.

    4.Tracer la courbe C dans le repere ac la tengente au point d'abscisse alpha.

    voila
    merci bcp d'avance


  • M

    coucou
    les premières questions m'on l'air justes

    g(x) est décroissante sur [o;+oo[ et g'(x) est négative sur cette intervalle

    moi je mettrais
    g'(x) est négative sur cette intervalle donc g est décroissante sur [o;+oo[
    g(x) est un nombre...
    bref pour le 3 tu as vu le théorème de la bijection ou celui des valeurs intermédiaires?


  • Zorro

    Bonjour,

    Pourrais-tu aérer ton énoncé ? Quand c'est aussi compact c'est difficile à lire. (il y a un bouton "Modiifier" sous ton message ; il est à ta disposition pour cela)

    Que trouves-tu pour la limite de g en -∞ ? tu ne donnes pas ta réponse.

    La dérivée de g que tu trouves est fausse ! Revois la formule qui donne la dérivée d'un produit de fonctions.

    Pour la 3 : utilise la "théorème des valeurs intermédiaires"
    Calcule g(1,27) et g(1,28) et conclus

    Pour la 4 c'est une lecture du tableau de variation

    Pour ton 2ème exercice tu dois mettre des () parce que ton expression nous laisse croire que f(x),=,xex,+,1f(x) ,= , \frac{x}{e^x}, +, 1f(x),=,exx,+,1


  • M

    j'ai un doute là
    (u.v)' (x) = u(x) . v'(x) + u'(x) . v(x)
    c'est bien ça?
    g(x)=exg(x)=e^xg(x)=ex(1-x)+1
    g'(x)=ex(x)=e^x(x)=ex *(-1)+ exe^xex(1-x)
    g'(x)=−xex(x)=-xe^x(x)=xex


  • Zorro

    Oui en effet ! une faute de signe !!! je crois que j'ai pas assez dormi cette nuit !

    g'(x) = -x exe^xex

    De plus ma remarque sur limite de g en -∞ n'a pas lieu d'être puisque le domaine d'étude de la fonction est [0;+∞[

    C'est la limite en 0 qu'il faut donner soit g(0)

    Toutes mes excuses pour les doutes que j'ai dû te créer inutilement


  • M

    lol oh non moi non plus je n'ai pas beaucoup dormi

    ps: ( j'ai parlé de maths toute la nuit...mdr)

    t'aurais pas parlé de convexité une bonne partie de la nuit, par hasard ? N.d.Z.


  • M

    miumiu

    ps: ( j'ai parlé de maths toute la nuit...mdr)

    t'aurais pas parlé de convexité une bonne partie de la nuit, par hasard ? N.d.Z.
    en effet Z. je sais que c'est un sujet qui te passionne énoooooormément alors j'ai fait de nombreuses analyses...

    Mandinette tu n'as rien trouvé pour l'exercice 2


  • M

    et bien pour l'exercice 2, j'ai aps encore cherché à vrai dire
    je voulais d'abord finir le premier exercice et me consacrer a lautre juste apres
    Zorro, au fait, le f(x)=x/(exf(x)=x/(e^xf(x)=x/(ex+1)
    désolé pour les parentheses
    voila qui est réctifiée
    sinon j'ai survolé en cours le théormee des valeurs intermédiares
    .
    mais je ne vois pas comment faire...


  • M

    en réalite, je viens de regarder mon cours, on a juste dit pour ce qui est du théoreme des valeurs intermédiares qu'il y a pluseurs calcul pour arriver à un encadrement
    mais je n'ai rien de plus la dessus
    donc je vois pas trop
    voila


  • Zorro

    Si une fonction g est décroissante sur un intervalle I et que sur cet intervalle g(x) passe d'une valeur positive à une valeur négative c'est qu'obligatoirement il y a un x unique de I telque g(x) = 0

    pour la suite fais ce que je te disais + haut

    Calcule g(1,27) et g(1,28) et conclus


  • M

    ok
    je vois tout à fait ce qu'il faut que je fasse
    par contre, pour l'histoire de la solution unique, je vois pas torp pour le moment


  • M

    ah sinon, pour la partie 2 et la limite de f(x) j'ai toruvé une forme indéterminée, c'est cela??
    et pour lever l'indétermination, je vois pas comment la lever cette fois!!!


  • M

    non c'est bon j'ai toruvé lim en +oo égale à 0 pour la prmeiere question de la parite 2
    voila c'est bon pour cela


  • M

    j'ai besoin d'aide encore pour l'unique solution
    j'arrive pas à la déterminer
    lol


  • M

    au secours
    ya pas quelqu'un qui peut m'aider pour demain s'il vous plait,?


  • Zauctore

    Bon il me semble que c'est pour la question 3 de la première partie.

    Alors tu calcules à la machine g(1,27) et g(1,28).

    je parie que l'un des deux est positif strictement, et l'autre négatif strictement.

    puisque g est positive, ça veut dire qu'il existe au moins une valeur u telle que g(u) = 0, d'après les valeurs intermédiaires.

    mais ensuite, il est à parier aussi que g est strictement monotone sur un intervalle qui contient [1,27 ; 1,28].

    donc il ne peut pas y avoir plus d'une valeur u telle que g(u) = 0.

    conclusion, il y a une unique valeur que l'on appellera α comprise strictement entre 1,27 et 1,28 telle que g(α ) = 0.


  • M

    je vois...
    mais le probleme c'est qu'il fallait démontrer cela sur l'intervalle [0;+oo[
    donc je note; on peut en déduire que........ dans l'intervalle [0;+oo[
    ca marche non???
    et pour montrer que 1.27<alpha<1.28?????
    merci Zauctore


  • M

    j'aurais donc besoin d'aide pour ca mais ausis pour le tableau de signe
    je ne sais plus comment le remplir
    la parite 1 sera finie
    et j'aurais besoin d'aide pour la 2 et besoin aussi de confirmation
    merci bcp


  • Zorro

    Le théorème des valeurs intermédiares parle d'une unique valeur pour laquelle f(α) = 0 quand la fonction f est croissante et continue sur l'intervalle I en passant d'une valeur positive à une valeur négative.

    Or ici I = ??? donc le théorème s'applique sur ???


  • M

    oui ok
    I=[0;+oo[
    donc le théoreme s'applique sur cet intervalle
    ok
    merci
    et pour la suite....


  • Zorro

    Qu'as tu fait et qu'est-ce qui te manque ?


  • M

    ben j'ai pas montrer la fin de la question 4
    et il me reste toutez la partie 2 en fait
    j'ai commencé la partie 2 mais je voudrais finir avant de continuer cette parite surtout ke je ne suis pas sure de certai,e chose
    et il me reste dans la partie 1, la question 4 aussi
    je c'est plus ce qu'il faut metrre dans un tableau de signe
    voila


  • Zorro

    Bon le tableau de signe tu dois pouvoir le faire toute seule

    g(x) = 0 pour x = ???

    g(x) < 0 pour x ∈ ????

    g(x) > 0 pour x ∈ ???

    Et la 2 ème partie tu cherches un peu et tu nous donnes tes réponses ! On ne fera pas ton exo à ta place !


  • M

    ok
    pas de pb
    mais pour l'histoire du montrer que 1.27<alpha<1.28??
    comment je rédige,?


  • Zorro

    Comme Zauctore et moi te l'ont montré !


  • M

    sinon la partie 2
    j'ai finie la premiere question
    mais je ne décolle pas pour la 2
    pour ce qui est de la 3 je l'ai presque finie mais j'aurais besoin de confirmation...
    et la 4 ben celle si je me débrouille comme une grande (avec confirmation, lol)


  • M

    pour l'encadrement, j'ai donc juste à calculer les 2 valeurs??
    ok
    c'est compris
    merci
    ...


  • M

    opur le tableau de signe, g(x)=0 pour x= alpha
    g(x)<0 pour x ∈ [1.27;1.28]
    g(x)> 0 pour le meme intervalle,???
    ???


  • M

    ah non
    jme suis gourré
    oula c'est rien
    g(x)<0 pour x ∈[1.28;+oo[
    et g(x)>0 qd x ∈ [0;1.27]
    c'est pas mieux comme ca??


  • M

    donc si sa c'ets juste, ma aprtie 1est finie
    mon 1 de lapartie 2 également
    il me reste le 2 que je n'arrive pas à décoller
    puis le 3 à moitié
    voila
    lol


  • Zorro

    Il suffit de remplacer x par α dans la bonne expression f(x) ? g(x) ? à toi de voir en sachant que α est tel que ????


  • M

    donc dans f(x), tous mes x deviennet des alpha
    et pares, sa va conduire à quoi??


  • M

    non sincèrement j'ai vraiment un probleme pour le petitv 2t out ntier
    lol
    je ne vois aps pourquoi remplacer par alpha et à quoi sa va servir
    merci bcp...


  • M

    ah si c'est bon
    j'obtiens g(alpha)=expalpha(1-alpha)+1
    donc expalpha=1/(alpha-1)
    est ce que c'est ca????
    par contre, je n'arrive pas à obtenir f(alpha)=alpha-1

    e tpour encadrer f(alpha)???
    merci


  • M

    et il me reste aussi à tracer la courbe C représentative de la fonction f

    merci bcp de otre aide


  • Zorro

    Tu sais que 1.27< α <1.2 et que f(α) = α - 1

    Encadrer f(α) est du niveau seconde ! non ?

    Tu dois relire toutes les questions déjà résolues pour essayer de voir si tu ne peux pas t'aider de ce que tu as déjà démontrer.

    Désolée, mais ce soir je ne vais pas pouvoir rester bien longtemps !


  • Zauctore

    Bon.

    Tu sais que
    g(α)=0↔eα=1α−1g(\alpha) = 0 \quad \leftrightarrow \quad \text{e}^{\alpha} = \frac1{\alpha -1}g(α)=0eα=α11
    donc en remplaçant dans l'expression de f(x)f(x)f(x), tu obtiens

    $\frac{\alpha}{\text{e}^{\alpha}+1} = \frac{\alpha}{\frac1{\alpha-1}+1} = \frac{\alpha}{\frac1{\alpha-1} + \frac{\alpha-1}{\alpha-1}} = \frac{\alpha}{\frac{\alpha}{\alpha - 1}} = \fbox{\alpha - 1}$
    car tu dois savoir simplifier un empilement du genre

     x xy=y\frac{\ x\ }{\frac{x}{y}} = yyx x =y

    Maintenant, pour encadre f(α)=α−1f(\alpha) = \alpha - 1f(α)=α1, comme tu sais que α\alphaα est compris entre 1,27 et 1,28... entre quelles valeurs est compris α−1\alpha - 1α1 ?


  • M

    ben alpha-1 est compris entre 1.26 et 1.27
    c'est ca non???


  • Zauctore

    n'imp' !

    tu confonds les centièmes et les unités ? arrête le nutella !

    pour ta courbe avec la tangente en α\alphaα, je crois que ça a cette allure

    http://img59.imageshack.us/img59/7545/capture01xs7.jpg


  • M

    oui putin oui
    fo ke jarrete le chocolat mdr
    c'est aps 1.26
    c'est 0.27 et 0.28
    c'est mieux comme ca???
    attend t en train de me faire douter
    lol


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