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Modéré par: Thierry, mathtous
Fin 

Une inégalité de convexité

- classé dans : Enigmes

Envoyé: 15.11.2006, 15:19

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Zauctore

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Salut.

En voici une que j'ai apprise il y a peu.





Joli, non ?

Pour la preuve : Al-Kashi, expression de l'aire, sin(A/2) et ... convexité de la fonction tangente sur [0 ; pi/2[.

modifié par : Zauctore, 20 Nov 2006 - 15:56
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Envoyé: 17.11.2006, 18:52

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Zauctore

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Bon. La figure rappelle les notations
http://img399.imageshack.us/img399/8779/capture01qy9.jpg

Alors on a

Or

donc

d'où

C'est un début, n'est-ce pas.
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Envoyé: 20.11.2006, 15:55

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Zauctore

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La suite maintenant.

Dans la dernière ligne ci-dessus, on voit le produit .

Or on a

c'est-à-dire

d'où



De la même manière, on obtient





Un peu de trigo permettra de simplifier un peu ces fractions...

modifié par : Zauctore, 21 Nov 2006 - 12:23
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Envoyé: 20.11.2006, 17:14

Cosmos
miumiu

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coucou
très belle démonstration ;)
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Envoyé: 20.11.2006, 17:16

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Zauctore

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coucou

mais c'est pas fini ! et puis attends l'apparition de la convexité (si, si, je suis sûr que ça te dit quelque chose).

modifié par : Zauctore, 21 Nov 2006 - 12:06
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Envoyé: 21.11.2006, 12:23

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Zauctore

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Alors un peu de trigo, maintenant...

On a pour tout réel


on en déduit



Maintenant, on peut reporter ceci dans l'égalité précédente


ce qui donne



De même, on a pour tout réel



d'où l'on déduit



Remplaçons à nouveau dans (1), pour obtenir



c'est-à-dire


d'où enfin
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Envoyé: 21.11.2006, 17:41

Cosmos
nelly

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Z... t'es vraiment dans ton tripe avec les démonstrations?!
D'ailleurs, à mon grand étonnement, il n'y a encore aucun théorème qui porte ton nom? ou ton prénom? ou ton pseudo?!!!... je suis déçue...
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Envoyé: 22.11.2006, 15:06

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Zauctore

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Bah, Nell' tu vas rester déçue longtemps alors...

Après cet aparté, je reprends :

De même, on a


d'où il résulte en définitive


ce qui est déjà bien. On s'attaque ensuite à la somme des trois tangentes...
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Envoyé: 23.11.2006, 10:22

Cosmos
nelly

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Bah, icon_eek je ne pense pas Z... T'as vu tout ce que tu as mis sur le forum comme théorèmes, démonstrations, exemples icon_eek (t'as pas encore essayé les blagues?...ah non, ça c'est moi!!! icon_biggrin )... tu vas voir : d'ici peu, je suis sûre qu'on va pouvoir trouver en librairie quelques bouquins à ton effigie! icon_cool ...dans le nord... icon_rolleyes ... non je déconne mon ptit Z, je ne te vannes pas!! j'admire ton boulot, et celui que tu fais pour le forum!Merci!...

Pour ma part, je suis en préparation (très très très lente, vu qu'il pleut des partiels ces temps-ci!) de quelques formulaires supplémentaires!!!... faut pas perdre les bonnes habitudes!

modifié par : nelly, 23 Nov 2006 - 09:23
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Envoyé: 23.11.2006, 14:33

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Zauctore

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N'imp', Nell' : je suis trop beau pour être mis en photo ! et... t'as fini de jouer avec les trucs qui clignotent ?

C'est le lieu pour parler un peu de convexité.

déf. 1 Un ensemble E dans le plan est convexe, lorsque le segment joignant deux quelconques de ces points est tout entier contenu dans E. Précisément, pour tous A, B de E, pour tout point M du segment [AB], alors M est dans E.

http://img91.imageshack.us/img91/4300/capture01hp6.jpg
à gauche : convexe ; à droite : non-convexe


La représentation graphique d'une fonction définit un ensemble des points situés au-dessus de : c'est l'ensemble des points tels que - les étant compris dans le domaine de définition de .



déf. 2 Alors la fonction est convexe sur lorsque cet ensemble est lui-même convexe au sens de la définition 1.

Cela se traduit par le fait que, en reliant deux points de la courbe de , le segment tracé est tout entier situé au-dessus de la courbe.

[image à inclure]

Un point de ce segment peut se caractériser en terme de barycentre...

[La suite plus tard]

modifié par : Zauctore, 26 Nov 2006 - 13:54
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Envoyé: 23.11.2006, 16:11

Cosmos
nelly

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Quels trucs qui clignotent??? icon_eek ...
Pour ta photo, je comprend... c'est un forum public! Et il ne faudrait pas perdre de mathforeurs... icon_lol
Quant à une photo à l'échelle nationale icon_cool , la France n'est pas encore prête... et encore moins à l'échelle internationale icon_cool !!!... je comprends, je suis dans le même cas que toi! icon_lol
Quoi que pour ton bouquin : pas besoin de photos?!


Bon, mais pour lma convexité : je suis tout à fait d'accord!! icon_rolleyes
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