Etude de la dérivabilité

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Modéré par: Thierry, Jeet-chris, zoombinis, Zorro, kanial, Zauctore

	Etude de la dérivabilité

monopoly	Envoyé: 11.11.2006, 16:29
Une étoile enregistré depuis: oct. 2006 Messages: 15 Status: hors ligne dernière visite: 11.11.06	Tout d'abord bonjour! Je dois étudier la dérivabilité de $f(x)= \sqrt{x(1-x)}$ en x=0. Avec f definie sur [0;1]. Je ne sais pas s'il suffit d'appliquer la propriété [définition] f est dérivable en x=a si le rapport $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite réelle L , quand x tend vers a. Ou s'il faut passer par plusieurs étapes . En fait je n'arrive même pas à calculer la limite du rapport. Voilà ce que j'ai fait : $\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{x(1-x)}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x-x^2}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2\left(\frac1x-1\right)}}x = \lim_{x \to 0} \mid x\mid \frac{\sqrt{\frac1x-1}}x$ x strictement supérieur à 0 donc c'est aussi $\lim_{x \to 0} x\frac{\sqrt{\frac1x-1}}x = \lim_{x \to 0} \sqrt{\frac1x-1}$ C'est à nouveau une forme indéterminée. Faut-il calculer la limite de $\sqrt{\frac1x-1}$ en 0- et 0+? mais en 0- elle n'est pas definie, donc suffit-il de chercher la limite en 0+? Dans ce cas là je trouve que la limite tend vers + l'infini . Ce qui prouve qu'elle n'est pas dérivable. Pourtant, d'après la calculatrice cette fonction est dérivable. Je crois que je me suis plantée quelque part Pourriez-vous m'aider svp? Voilà un sujet pour miumiu, non ? N.d.Z. modifié par : Zauctore, 11 Nov 2006 - 16:55 NiNA


stuntman78	Envoyé: 11.11.2006, 17:01
Voie lactée enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 93 Status: hors ligne dernière visite: 08.03.07	pour commencer , j'aimerais avoir confirmation, mais 0_- n'existe pas reelement, car ca veut dire quand x tend vers 0 mais que x est inferieur a 0. ensuite il t'arive bien de calculer la limite de x quand x tend vers 1 par exemple et que ta fonction est defini sur ]1;+∞[ et quand tu as une forme indeterminer il faut soit factoriser, soit etudier la limite des 2 coté du reel, ici 0. encore merci thierry d'avoir mit ma bannière dans les bannières du forum :):):):)

Zauctore	Envoyé: 11.11.2006, 17:35
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4738 Status: hors ligne dernière visite: 07.01.09	0⁺ n'est qu'une notation commode qui s'emploie dans un contexte très particulier : $\lim_{x \to 0^+}\; f(x) =\quad \lim_{x \to 0,\, x \geq 0, \,x \ne 0}\; f(x)$ ce que c'est que de tendre vers 0, en restant positif et différent de 0... 0^- aura une signification analogue.

stuntman78	Envoyé: 11.11.2006, 17:42
Voie lactée enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 93 Status: hors ligne dernière visite: 08.03.07	ca ne serais pas plutot $\lim _{x \rightarrow 0,x >0} f(x)$ car si x≥0 , x≠0 alors autant ecrire x>0 non? C'est pareil ; je me méfie du symbole inf strict ou sup strict qui posent parfois des pb gênants sur le forum... N.d.Z. modifié par : Zauctore, 11 Nov 2006 - 17:50 encore merci thierry d'avoir mit ma bannière dans les bannières du forum :):):):)

monopoly	Envoyé: 11.11.2006, 17:53
Une étoile enregistré depuis: oct. 2006 Messages: 15 Status: hors ligne dernière visite: 11.11.06	J'ai un peu de mal à comprendre . Ce que j'ai fait pour l'instant c'est juste ? NiNA

miumiu	Envoyé: 11.11.2006, 17:54
Cosmos enregistré depuis: mar. 2006 Messages: 3528 Status: hors ligne dernière visite: 27.03.08	coucou lol Zauctore pourquoi tu pensais que c'était pour moi cet exo? monopoly je pense que c'est bon mais bon je n'en suis pas sûre a 100% et la remarque de Z. me fait peur mdr je confirme que les inégalités posent beaucoup de problèmes lol modifié par : miumiu, 11 Nov 2006 - 17:54

Zauctore	Envoyé: 11.11.2006, 18:07
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4738 Status: hors ligne dernière visite: 07.01.09	oui, monopoly : tes calculs sont bons. le graphe de $\sqrt{\frac1x - 1}$ laisse penser que la limite étudiée est infinie. t'inquiète pas miumiu, j'ai mis ça pour éviter les ambiguités. monopoly : saurais-tu résoudre cette inéquation, sachant que x est entre 0 et 1 $\sqrt{\frac1x - 1} \geq A$ A étant un nombre quelconque positif ?

Zauctore	Envoyé: 11.11.2006, 18:18
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4738 Status: hors ligne dernière visite: 07.01.09	Réponse : $x \leq \frac1{A^2 + 1}$ Et qu'est-ce que ça prouve ?

monopoly	Envoyé: 11.11.2006, 18:19
Une étoile enregistré depuis: oct. 2006 Messages: 15 Status: hors ligne dernière visite: 11.11.06	mais donc ça suffit de calculer la limite de √((1/x)-1) quand x tend vers 0+? Et je ne comprends pas parce que dans ce cas là je trouve une fonction non dérivable en O+ alors que si on regarde la courbe de la fonction de depart (celle où l'on doit etudier la derivabilité) f(x)=√(x(1-x)) elle est dérivable en 0 Pour repondre à votre question , il me semble que A est dans l'intervalle ]0;+infini[ NiNA

Zauctore	Envoyé: 11.11.2006, 18:25
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4738 Status: hors ligne dernière visite: 07.01.09	attention monopoly : lorsque tu regardes la courbe de $\sqrt{x(1-x)}$ tu vois qu'elle est continue en 0 certes, mais que dire de sa tangente en 0 ? Ta réponse à ma question n'est pas satisfaisante ; vois plus haut. modifié par : Zauctore, 11 Nov 2006 - 18:27

monopoly	Envoyé: 11.11.2006, 18:32
Une étoile enregistré depuis: oct. 2006 Messages: 15 Status: hors ligne dernière visite: 11.11.06	ah ui d'accord sa tangente est verticale donc la fonction n'est pas définie...c'est ça?il faut que je le precise ça ? A peut être égal à 0 NiNA

Zauctore	Envoyé: 11.11.2006, 18:41
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4738 Status: hors ligne dernière visite: 07.01.09	Mais si, la fonction est définie : f(0) = 0. Le fait que sa tangente en 0 soit verticale indique simplement que f n'est pas dérivable en 0. Ce n'est qu'une indication visuelle ; il s'agit de prouver cela. Enfin, A est un paramètre grand, fixé (par exemple A ≈ 100 000 000). Il s'agit de trouver quelles sont les valeurs de x telles que √(1/x - 1) soit plus grand que cet A, c'est tout.

monopoly	Envoyé: 11.11.2006, 18:52
Une étoile enregistré depuis: oct. 2006 Messages: 15 Status: hors ligne dernière visite: 11.11.06	Oui je me suis mal exprimée mais c'est ce que je pensée : la fonction n'est pas dérivable en O Maintenant il faut que je calcul la tangente de la fonction au point O pour avoir une preuve par le calcul ? NiNA

Zauctore	Envoyé: 11.11.2006, 18:55
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4738 Status: hors ligne dernière visite: 07.01.09	pour la tangente, le coefficient directeur sera égal au nombre dérivé (s'il existe). avec la résolution de l'inégalité que j'ai posée plus haut, on va prouver que le taux de variation de la fonction tend vers +∞ lorsque x tend vers 0, donc que le coefficient directeur de la tangente est infini, donc que la fonction n'est pas dérivable en 0.

monopoly	Envoyé: 11.11.2006, 19:32
Une étoile enregistré depuis: oct. 2006 Messages: 15 Status: hors ligne dernière visite: 11.11.06	d'accord mais je n'ai jamais entendu parler de taux de varitation pour une tangente. Si la prof ne nous l'a jamais expliqué ne vaudrait-il pas mieux que je calcul l'équation de la tangente avec Ta=f'(a)(x-a)+f(a)? NiNA

Zauctore	Envoyé: 11.11.2006, 19:39
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4738 Status: hors ligne dernière visite: 07.01.09	C'est $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ qui est le taux de variation ; c'est connu depuis des lustres quand on est en Term. Impossible de s'en passer ici, car justement f '(a) n'existe pas ! Edit de J-C: je récris la formule qui ne risquait pas de s'afficher: "[tex}\frac{f(b) - f(a)}{b - a}" modifié par : Jeet-chris, 11 Nov 2006 - 20:13

monopoly	Envoyé: 11.11.2006, 20:21
Une étoile enregistré depuis: oct. 2006 Messages: 15 Status: hors ligne dernière visite: 11.11.06	oui ok c'est le coeff directeur NiNA

monopoly	Envoyé: 11.11.2006, 20:37
Une étoile enregistré depuis: oct. 2006 Messages: 15 Status: hors ligne dernière visite: 11.11.06	Et pour prouver qu'il y a une tangente verticale en O je ne peux pas dire que lorsqu'une fonction n'est pas dérivable en un point c'est qu'il y a soit la tangente à ce point qui est verticale , soit un point de rebroussement? Etant donnée que la fonction est définie dans ]0;+infini[ il ne peut pas y avoir de points de rebroussements . Donc il y a une tangente verticale à la courbe au point 0 modifié par : monopoly, 11 Nov 2006 - 20:40 NiNA

Zauctore	Envoyé: 11.11.2006, 22:55
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4738 Status: hors ligne dernière visite: 07.01.09	tangente verticale si et seulement si le taux de variation devient infini il suffit de montrer que $\lim_{x \to 0} \sqrt{\frac1x - 1} = +\infty$ c'est ce pour quoi je te demandais de résoudre l'inéquation de 18:07 (dont j'ai donné la solution à 18:18... à poursuivre.