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Modéré par: Thierry, mathtous
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Polygone à sommets sur un quadrillage à maille carrée

- classé dans : Enigmes

Envoyé: 10.11.2006, 19:07

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Zauctore

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En jouant avec GeoGebra, voici un phénomène qui peut intriguer

http://img265.imageshack.us/img265/269/capture02np6.jpg

L'unité d'aire est le petit carré qui représente 1 cm² ; le logiciel calcule 66,5 cm².

En faisant bouger les points de ce polygone à 9 côtés et les gardant sur les noeuds du quadrillage, on n'obtient jamais autre chose qu'une aire en nombre entier de cm² avec éventuellement +0,5 cm². Mais jamais +0,25 cm², par exemple...

Etonnant non ? mais ça s'explique... sans doute ?

modifié par : Zauctore, 11 Nov 2006 - 13:08
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Envoyé: 11.11.2006, 11:45

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Voici un autre exemple, avec 18 côtés, placés au hasard...
http://img297.imageshack.us/img297/3453/pick18pts01bi9.jpg
l'aire est encore de la forme n+0,5 cm²...
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Envoyé: 11.11.2006, 19:17

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Zauctore

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Et peut-on trouver un critère "simple" pour savoir à l'avance si l'aire sera de la forme n cm² ou bien n+0,5 cm² (n étant un entier) ?
http://img135.imageshack.us/img135/5974/capture01ll0.jpg
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Envoyé: 11.11.2006, 20:06

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Salut.

Il faut passer par une décomposition des polygones. Dans le cas de ces figures simples, on peut se ramener à des triangles rectangles dont la base et la hauteur sont sur le quadrillage(leurs sommets sont sur les intersections). Donc les longueur de la base et de la hauteur sont des valeurs entières, et d'après la formule d'une aire, on aura toujours un nombre entier sur 2: donc l'aire totale du polygone sera la somme d'entiers et de demi-entiers.

Calculer les aires de ces figures en utilisant la décomposition pour bien comprendre:

http://img296.imageshack.us/img296/7338/4336apu2.png

Mais certaines figures risquent de poser des problèmes. Il faudra ruser. Regardez ici la figure ABC:

http://img379.imageshack.us/img379/7733/4336bug4.png

Et bien on va pouvoir dire que l'aire du triangle ABC, c'est l'aire du triangle DEF moins l'aire du triangle GHI. Si vous faites le calcul, vous verrez que l'on se ramène toujours à la somme de triangles dont l'aire est soit un entier, soit un demi-entier.

Dans le cas général, on pourra toujours se ramener à une décomposition du polygone qui nous permette d'affirmer que l'aire est bien soit un entier, soit un demi-entier, tant que les sommets de ce polygone se situent sur les intersections du quadrillage.

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