Bonjour,
Voici le sujet d'un DM de maths sur lequel je sèche (j'ai des idées mais ça aboutit à quelque chose d'incohérent).
Voici le sujet :
3 propriétaires P1, P2 et P3 possèdent 3 champs carrés disposés autour d'un lac en forme de triangle A, B, C (un champ carré de coté AB, un champ carré de coté AC et champ carré de coté BC). Le lac triangulaire est rectangle en A.
Les propriétaires souhaitent se partager le lac proportionnellement aux aires de leurs champs. Donner les coordonnées du point M situé dans le lac tel qu'il divise le lac en trois triangles dont les surfaces sont proportionnelles aux aires des champs.
Voici comment je commence :
soit a = l'aire du triangle AMB
b = aire de AMC
c= aire de BMC
x= AB
y=AC
et z=BC
Puisque ABC est rectangle en A, x2+y2=z2
a+b+c=(xy)/2
Les triangles étant proportionnels aux carrés :
a=kx2
b=ky2
c=kz2=k(x2+y2)
Je suppose que M est le barycentre du triangle ABC
Je pense (mais pas sur) que les poids à affecter aux points AB et C sont respectivement a, b et c (les aires des triangles)
Mais si je prends mon repère en A (A de coordonnées 0,0), j'obtiens : xM = (2b/xy)xB (pourquoi pas)
mais yM = (1/2) yC
Je vais commencer par une remarque mais tu verras que cela te servira !
Quand tu écris je suppose que tu veux écrire
x² + y² = z²
Pour arriver à ce résultat tu peux utiliser les "boutons" qui sont sous le cadre de saisie ils permettent d'écrire ² ou ³
Pour des puissances supérieures tu as le "bouton" "Exposant" qui fait apparaître les "balises" <*sup><*/sup> sans * (mises ici pour que tu comprennes) et mettre l'exposant en tre les balises
donc pour écire x5 il faudra x<*sup>5<*/sup> (toujours sans les *)
Idem pour les indices ... il y a les balises <*sub><*/sub> donc pour écrire yM on utilsera y<*sub>M<*/sub> (sans les *)
Merci donc de rendre ton énoncé plus lisible en cliquant sur le "bouton" 'Modifier/Supprimer" qui est sous ton message.
Pour la figure, c'est exactement ça !
Par contre, après réflexion, je me demande si le but du problème n'est pas uniquement de démontrer que le point M est le barycentre du triangle (car l'énoncé exact du problème est "donner la position du point M").
Qu'en pensez-vous ?
Comment démontrer dans ce cas que le point M est le barycentre du triangle ABC, et avec quels poids associés ?
Salut,
Une phrase de l'énoncé qui contredit ce que tu viens de dire. Il s'agit de donner les coordonnées du point M. Zorro, sur son schéma t'a suggéré un repère. C'est effectivement celui-ci qui sera le plus simple à utiliser.
Je te propose de ne plus appeler x, y, z les longueurs AB AC AD car cela va prêter à confusion avec les coordonnées de M.
La première chose à faire est d'exprimer les aires de 3 petits triangles (base×hauteur/2) en fonction des coordonnées de M (x et y).
Ensuite les proportionnalités te permettront d'obtenir 3 équations avec 3 inconnues (x, y et k).
Hier soir, j'avais donné l'énoncé de tête (à force de sécher dessus, je le connais par coeur). Mais l'énoncé exact est bien "donner la position du point M".
Intuitivement, j'avais déduit que M est le barycentre mais je ne sais pas s'il faut le démontrer.
En partant du repère de Zorro, je trouve les coordonnées suivantes :
xM = (2b/xy)xC (où b = aire de AMC, x est le coté du carré ACHI et y le coté du carré ABFG)
et
yM = (1/2)yB
C'est ce yM qui me choque : pourquoi serait-il situé au milieu du segment AB ?
Ais-je le droit de partir du fait que M est le barycentre du triangle ABC et ais-je le droit d'affecter les aires des petits triangles AMB, AMC et BMC comme pondérations des points A, B et C ?
Bon, j'ai trouvé quelque chose mais je ne suis pas sur :
Aire de AMC = (AC*y)/2
Aire de AMB = (AB*x)/2
Les aires des triangles sont proportionnelles aux aires des carrés =>
(AC*y)/2 = k*AC²
et
(AB*x)/2 = k*AB²
Selon Pythagore : BC² = AC² + AB²
L'aire du triangle ABC est égale à la somme des aires des petits triangles :
2k(AB²+AC²) = (AC+AB)/2
J'en déduis que k = (AB*AC)/4(AB²+AC²)
et donc :
x= (AB²*AC)/2(AB²+AC²)
et
y=(AB*AC²)/2(AB²+AC²)
Est-ce que ça vous semble correct comme raisonnement et résultat ?
Merci de votre réponse ...
OK pour la 1ère remarque par contre, il ne me semble pas avoir oublié de triangle :
le premier : kAB², le deuxième : kAC² et le troisième : kBC² = k(AB²+AC²), d'où 2k(AB²+AC²) ... non ?
OK ! Ca a l'air de tenir la route. Il faut quand même avouer que le résultat n'est pas très ragoutant ... Tu peux déjà remplacer AB²+AC² par BC².
Pour être fixé, ce que je ferais, je vérifierais avec un triangle rectangle (de dimensions 3 - 4 - 5). Tu calcules k, x, y et tu vérifies que les aires des petits triangles sont bien égales à k fois les aires des carrés.
Si ça marche, si tes formules se vérifient, on pourra dire que c'est gagné, sinon ... chercher l'erreur.
Change de notation pour simplifier la résolution du problème.
Appelle a,b,c les longueurs des côtés du triangle rectangle (où c est l'hypoténuse).
Appelle ha la hauteur du triangle dont la base mesure a,
hb la hauteur du triangle dont la base mesure b,
et hc la hauteur du triangle dont la base mesure c.
Le problème peut donc s'exprimer sous forme algébrique de la manière suivante:
1/ La somme des aires des 3 "petits" triangles est égale à l'aire du triangle rectangle de départ (le lac) :
0,5×a×ha
+0,5×b×hb
+0,5×c×hc
=
0,5×a×b
2/ L'aire de chaque champ est proportionnelle à l'aire du morceau de lac de chacun:
0,5×a×ha = k × a²
et
0,5×b×hb = k × b²
et
0,5×c×hc = k × c²
A partir de ce système d'équations, il est assez simple algébriquement de trouver ha et hb.
Le point M peut alors se définir par le vecteur AM = ha × AB + hb × AC
où A,B,C sont les sommets du triangle de l'énoncé.
