Exercice sur les suites et leur convergence


  • B

    Salut, je n'arrive pas à démontrer les énoncés de mon exercice bien que certains me paraissent évidents, si vous pouviez m'aider ca serait sympa. Merci

    Si l'énoncé est vrai en donner la démonstration, s'il est faux, donner un contre exemple.

    (Un(U_n(Un) et (Vn(V_n(Vn) désignent 2 suites quelconques telles que : Pour tout n appartenant à N, vnv_nvn différent de 0.

    1. Si (U(U(U_n+Vn+V_n+Vn) converge vers 1 , alors (Un(U_n(Un) et (Vn(V_n(Vn) sont convergentes.

    Voici le premier énoncé.

    Je suis convaincue qu'il est juste mais je n'arrive pas à le démontrer.

    Merci de votre aide


  • Zauctore

    Teste-voir avec

    un=1+(−1)n et vn=(−1)n+1u_n = 1+(-1)^n \qquad\text{ et } \qquad v_n=(-1)^{n+1}un=1+(1)n et vn=(1)n+1
    pour voir si c'est si évident que ça.


  • B

    mais là UUU_n+Vn+V_n+Vn ne converge pas vers 1
    non?


  • B

    ah si pardon je me suis trompée


  • B

    donc l'énoncé est faux. d'accord merci 😄
    Je vais essayer de faire les autres énoncés moi-même sinon je reviendrai.


  • B

    1. Si (Un(U_n(Un) et (Vn(V_n(Vn) convergent vers 0, alors (U(U(U_n/Vn/V_n/Vn) admet une limite finie.

    Pour cela normalement c'est juste ...


  • Zauctore

    Tiens :
    un=1n et vn=1n2u_n = \frac1n\qquad\text{ et }\qquad v_n=\frac1{n^2}un=n1 et vn=n21
    pour voir...


  • B

    encore une erreur ... à chaque fois je choisis les mauvaises fonctions ...

    1. Si (Vn(V_n(Vn) converge vers 0 et si (U(U(U_n/Vn/V_n/Vn) converge vers 1, alors (Un(U_n(Un) converge vers 0 .

    Quelles fonctions je peux prendre en exemple pour cet énoncé?


  • Zauctore

    ça m'a l'air juste, cette assertion. Pour prouver, faudrait savoir ce que tu as comme définition de la limite nulle ou de la limite 1, dans ton cours...


  • B

    Et comment on peut le prouver?
    J'ai essayé avec la définition qu'on a dans le cours mais ca ne donne rien de concluant ...


  • Zauctore

    justement, quelles définitions as-tu ?


  • B

    euh je n'ai pas de définition de la limite nulle ou de la limite 1 dans mon cours. La seule définition que j'ai est la suivante :

    Une suite (Un(U_n(Un) converge en un réel l signifie que :

    Pour tout epsilon appartenant à RRR^*+_++, il existe un entier naturel a, et pour tout n appartenant à N, si a<n , cela implique l-epsilon < UnU_nUn < l+epsilon .

    Voilà c'est la seule définition de mon cours.


  • Zauctore

    Ok... Je la ré-écris de façon effrayante :

    ∃ℓ∈r, ∀ε∈r+∗, ∃a∈n, ∀n∈n, n≥a→ℓ−ε≤un≤ℓ+ε.\exist \ell \in \mathbf{r},\ \forall\varepsilon\in\mathbf{r}^*_+,\ \exists a\in\mathbf{n},\ \forall n\in\mathbf{n},\ n\geq a \rightarrow \ell-\varepsilon \leq u_n \leq \ell + \varepsilon.r, εr+, an, nn, naεun+ε.

    Note que ℓ\ell peut être 0 ou 1 : ce qui couvre les deux cas de limite nulle et de limite 1 que je te demandais.

    D'ailleurs cela signifie qu'à partir d'un certain rang (le aaa), tous les unu_nun sont à moins de ε\varepsilonε de ℓ\ell : comme ε\varepsilonε est quelconque, en particulier infiniment petit, ça donne bien l'idée intuitive que unu_nun tend vers ℓ\ell, non ?


  • Zauctore

    Le fait que un/vnu_n/v_nun/vn tende vers 1 donne l'encadrement, pour un certain ε\varepsilonε fixé et pour tout entier nnn à partir d'un certain rang aaa

    1−ε≤un/vn≤1+ε ,1-\varepsilon \leq u_n/v_n \leq 1 + \varepsilon\ ,1εun/vn1+ε ,
    qui se traduit par

    vn−εvn≤un≤vn+εvn ;v_n-\varepsilon v_n \leq u_n \leq v_n + \varepsilon v_n\ ;vnεvnunvn+εvn ;
    or on sait que vnv_nvn tend vers 0 : le théorème d'encadrement permet de conclure.


  • B

    ah d'accord merci 😄


  • B

    1. Si (Vn(V_n(Vn) est convergente, alors (valeur absolue(Vnabsolue(V_nabsolue(Vn)) est convergente.

    Je pense que c'est vrai ...


  • Zauctore

    Oui, mais pourquoi ?

    Soit ℓ\ell la limite des vnv_nvn, la suite des ∣vn∣\mid v_n \midvn tend vers ... vois avec l'inégalité triangulaire pour le montrer.


  • B

    l'inégalité triangulaire?


  • Zauctore

    ie : ∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣\mid a + b \mid \leq \mid a\mid + \mid b \mida+ba+b pour tous a,,ba,,ba,,b

    on peut en déduire une majoration de $\left\mid\mid a\mid - \mid b \mid \right\mid$

    l'énoncé ne comportait pas d'indication à ce sujet ?


  • B

    euh non aucune. je n'ai pas très bien compris ce qu'il faut faire là


  • Zauctore

    on se doute que l'on doit montrer que ∣vn∣−∣ℓ∣\mid v_n\mid - \mid \ell \midvn tend vers 0 ; or "on" sait (peut-être)

    −∣a−b∣≤∣a∣−∣b∣≤∣a−b∣- \mid a - b\mid \leq \mid a\mid - \mid b \mid \leq \mid a - b\midababab
    ça aide.


  • B

    je ne comprends pas comment en montrant cela, on montre l'énoncé 4).


  • Zauctore

    vnv_nvn tend vers ℓ\ell càd vn−ℓv_n - \ellvn tend vers 0.


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