Exercice sur les suites et leur convergence

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	Exercice sur les suites et leur convergence

Bbygirl	Envoyé: 03.11.2006, 18:59
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	Salut, je n'arrive pas à démontrer les énoncés de mon exercice bien que certains me paraissent évidents, si vous pouviez m'aider ca serait sympa. Merci Si l'énoncé est vrai en donner la démonstration, s'il est faux, donner un contre exemple. (U_n) et (V_n) désignent 2 suites quelconques telles que : Pour tout n appartenant à N, v_n différent de 0. 1) Si (U_n+V_n) converge vers 1 , alors (U_n) et (V_n) sont convergentes. Voici le premier énoncé. Je suis convaincue qu'il est juste mais je n'arrive pas à le démontrer. Merci de votre aide


Zauctore	Envoyé: 03.11.2006, 19:13
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4508 Status: hors ligne dernière visite: 18.11.08	Teste-voir avec $U_n = 1+(-1)^n \qquad\text{ et } \qquad V_n=(-1)^{n+1}$ pour voir si c'est si évident que ça.

Bbygirl	Envoyé: 03.11.2006, 19:24
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	mais là U_n+V_n ne converge pas vers 1 non?

Bbygirl	Envoyé: 03.11.2006, 19:24
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	ah si pardon je me suis trompée

Bbygirl	Envoyé: 03.11.2006, 19:25
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	donc l'énoncé est faux. d'accord merci Je vais essayer de faire les autres énoncés moi-même sinon je reviendrai.

Bbygirl	Envoyé: 03.11.2006, 19:41
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	2) Si (U_n) et (V_n) convergent vers 0, alors (U_n/V_n) admet une limite finie. Pour cela normalement c'est juste ...

Zauctore	Envoyé: 03.11.2006, 20:35
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4508 Status: hors ligne dernière visite: 18.11.08	Tiens : $U_n = \frac1n\qquad\text{ et }\qquad V_n=\frac1{n^2}$ pour voir...

Bbygirl	Envoyé: 03.11.2006, 23:28
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	encore une erreur ... à chaque fois je choisis les mauvaises fonctions ... 3) Si (V_n) converge vers 0 et si (U_n/V_n) converge vers 1, alors (U_n) converge vers 0 . Quelles fonctions je peux prendre en exemple pour cet énoncé?

Zauctore	Envoyé: 03.11.2006, 23:32
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4508 Status: hors ligne dernière visite: 18.11.08	ça m'a l'air juste, cette assertion. Pour prouver, faudrait savoir ce que tu as comme définition de la limite nulle ou de la limite 1, dans ton cours... modifié par : Zauctore, 03 Nov 2006 - 23:37

Bbygirl	Envoyé: 03.11.2006, 23:35
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	Et comment on peut le prouver? J'ai essayé avec la définition qu'on a dans le cours mais ca ne donne rien de concluant ...

Zauctore	Envoyé: 03.11.2006, 23:38
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4508 Status: hors ligne dernière visite: 18.11.08	justement, quelles définitions as-tu ?

Bbygirl	Envoyé: 03.11.2006, 23:47
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	euh je n'ai pas de définition de la limite nulle ou de la limite 1 dans mon cours. La seule définition que j'ai est la suivante : Une suite (U_n) converge en un réel l signifie que : Pour tout epsilon appartenant à R^₊, il existe un entier naturel a, et pour tout n appartenant à N, si a<n , cela implique l-epsilon < U_n < l+epsilon . Voilà c'est la seule définition de mon cours. modifié par : Zauctore, 04 Nov 2006 - 09:25*

Zauctore	Envoyé: 04.11.2006, 09:23
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4508 Status: hors ligne dernière visite: 18.11.08	Ok... Je la ré-écris de façon effrayante : $\exist \ell \in \mathbf{R},\ \forall\varepsilon\in\mathbf{R}^_+,\ \exists a\in\mathbf{N},\ \forall n\in\mathbf{N},\ n\geq a \Rightarrow \ell-\varepsilon \leq u_n \leq \ell + \varepsilon.$ Note que $1$\ell$ peut être 0 ou 1 : ce qui couvre les deux cas de limite nulle et de limite 1 que je te demandais. D'ailleurs cela signifie qu'à partir d'un certain rang (le $1$a$ ), tous les $1$u_n$ sont à moins de $&$\varepsilon$ de $1$\ell$ : comme $1$\varepsilon$ est quelconque, en particulier infiniment petit, ça donne bien l'idée intuitive que $1$u_n$ tend vers $1$\ell$ , non ? modifié par : Zauctore, 04 Nov 2006 - 09:31*

Zauctore	Envoyé: 04.11.2006, 09:37
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4508 Status: hors ligne dernière visite: 18.11.08	Le fait que $U_n/V_n$ tende vers 1 donne l'encadrement, pour un certain $\varepsilon$ fixé et pour tout entier $n$ à partir d'un certain rang $a$ $1-\varepsilon \leq U_n/V_n \leq 1 + \varepsilon\ ,$ qui se traduit par $V_n-\varepsilon V_n \leq U_n \leq V_n + \varepsilon V_n\ ;$ or on sait que $V_n$ tend vers 0 : le théorème d'encadrement permet de conclure.

Bbygirl	Envoyé: 04.11.2006, 15:37
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	ah d'accord merci

Bbygirl	Envoyé: 04.11.2006, 16:29
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	4) Si (V_n) est convergente, alors (valeur absolue(V_n)) est convergente. Je pense que c'est vrai ...

Zauctore	Envoyé: 04.11.2006, 16:54
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4508 Status: hors ligne dernière visite: 18.11.08	Oui, mais pourquoi ? Soit $\ell$ la limite des $V_n$ , la suite des $\mid V_n \mid$ tend vers ... vois avec l'inégalité triangulaire pour le montrer.

Bbygirl	Envoyé: 04.11.2006, 16:58
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	l'inégalité triangulaire?

Zauctore	Envoyé: 04.11.2006, 17:12
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4508 Status: hors ligne dernière visite: 18.11.08	ie : $\mid a + b \mid \leq \mid a\mid + \mid b \mid$ pour tous $a,\,b$ on peut en déduire une majoration de $\left\mid\mid a\mid - \mid b \mid \right\mid$ l'énoncé ne comportait pas d'indication à ce sujet ?

Bbygirl	Envoyé: 04.11.2006, 17:18
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	euh non aucune. je n'ai pas très bien compris ce qu'il faut faire là

Zauctore	Envoyé: 04.11.2006, 17:47
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4508 Status: hors ligne dernière visite: 18.11.08	on se doute que l'on doit montrer que $\mid V_n\mid - \mid \ell \mid$ tend vers 0 ; or "on" sait (peut-être) $- \mid a - b\mid \leq \mid a\mid - \mid b \mid \leq \mid a - b\mid$ ça aide.

Bbygirl	Envoyé: 04.11.2006, 18:49
Cosmos enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 383 Status: hors ligne dernière visite: 07.04.07	je ne comprends pas comment en montrant cela, on montre l'énoncé 4).

Zauctore	Envoyé: 04.11.2006, 19:01
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4508 Status: hors ligne dernière visite: 18.11.08	$V_n$ tend vers $\ell$ càd $V_n - \ell$ tend vers 0.