Diagonales d'un quadrilatère convexe

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	Diagonales d'un quadrilatère convexe

kataman	Envoyé: 03.11.2006, 18:53
enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 8 Status: hors ligne dernière visite: 03.12.06	Bonjour tout le monde! J'ai un petit problème dans un devoir maison. Voici l'exercice: ABCD est un quadrilatère convexe. Ses diagonales se coupent en O. On appelle S la somme des longueurs des diagonales de ABCD et P son périmètre. Démontrer que S est supérieur à la somme de 2 côtés opposés. Voilà, j'espère avoir été assez clair. Mes plus grands remerciements à celui ou celle qui voudrait bien me répondre. Je sais que cet exercice est facile mais j'ai beaucoup cherché sur nternet et dans mes livres et je n'ai pas trouvé de solution. A+


Zorro	Envoyé: 04.11.2006, 09:58
Modératrice enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 6082 Status: hors ligne dernière visite: 07.01.09	Bonjour, Je pense qu'en utilisant la propriété qui dit que dans un triangle la longueur de chaque côté d'un triangle est inférieure à la somme des longueurs des 2 autres, tu devrais t'en sortir AC < AB + BC etc ...

christa19	Envoyé: 05.11.2006, 00:18
enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 7 Status: hors ligne dernière visite: 06.11.06	Bonsoir, J'ai le même DM pour mardi mais je n'ai pas bien saisi l'explication précédente. Je ne vois pas en quoi la longueur de chaque côté d'un triangle influe dans un quadrilatère convexe. Merci de bien vouloir m'éclairer sur le problème !

Zorro	Envoyé: 05.11.2006, 00:49
Modératrice enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 6082 Status: hors ligne dernière visite: 07.01.09	A la somme de quels côtés peux-tu comparer la longueur de chacune des diagonales ? (en appliquant la règle citée)

christa19	Envoyé: 05.11.2006, 01:11
enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 7 Status: hors ligne dernière visite: 06.11.06	Ah oui d'accord ous aviez raison je me suis trompée. Mais vous avez marquez AC < AB + BC etc ... or si on fait un dessin cela voudrait dire que la diagonale (AC) est inférieur aux 2 cotés consécutifs AB et BC or on veut démontrer que la diagonale est suéprieur à 2 côtés opposés. Olala je plane complètement là ...

kataman	Envoyé: 05.11.2006, 14:24
enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 8 Status: hors ligne dernière visite: 03.12.06	Oui voilà. Ce sont deux côtés opposés pas consécutifs. Je pense qu'il faut raisonner en plusieurs propriétés. PS : Christa t pas en 2nde 11?? mdrrr

christa19	Envoyé: 05.11.2006, 14:30
enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 7 Status: hors ligne dernière visite: 06.11.06	kataman PS : Christa t pas en 2nde 11?? mdrrr Euh ... oui je suis en 2nde 11 mdrrr pourquoi t'y est aussi ?? c'est quoi ton prénom ?!

kataman	Envoyé: 05.11.2006, 21:15
enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 8 Status: hors ligne dernière visite: 03.12.06	c robin ptdr

christa19	Envoyé: 05.11.2006, 21:23
enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 7 Status: hors ligne dernière visite: 06.11.06	ptdr et ben on a le même problème avec notre DM alors !! Il est trop dur c'est abusé j'comprend rien du tout ... bref merci de nous éclairer

Zauctore	Envoyé: 05.11.2006, 21:36
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4738 Status: hors ligne dernière visite: 07.01.09	On a BO + OC ≥ BC et AO + OD ≥ AD (inégalité triangulaire). Donc BO + OC + AO + OD ≥ BC + AD (deux côtés opposés). Or BO + OC + AO + OD = AC + BD (somme des diagonales).

christa19	Envoyé: 05.11.2006, 22:01
enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 7 Status: hors ligne dernière visite: 06.11.06	Ah ok merci j'ai compris maintenant. La suite de la question étant : démontrer que S est inférieure au périmètre P du quadrilatère, on peut également utiliser l'inégalité triangulaire ?? Cela donnerai : On a DA + AB ≥ DB, BC + CD ≥ DB AB + BC ≥ AC, AD + DC ≥ AC Donc DA + AB + BC + CD (périmètre) ≥ DB + AC (diagonales) Est-ce bien cela ?

Zauctore	Envoyé: 05.11.2006, 22:07
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4738 Status: hors ligne dernière visite: 07.01.09	Exact, à condition qu'on voit bien 2(DA + AB + BC + CD) ≥ 2 DB + 2 AC. Donc la somme des diagonales (d'un quadrilatère convexe) est toujours comprise entre la somme de deux côtés opposés et celle des quatre côtés. modifié par : Zauctore, 05 Nov 2006 - 22:08

christa19	Envoyé: 05.11.2006, 22:30
enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 7 Status: hors ligne dernière visite: 06.11.06	Ok merci beaucoup. Par ailleurs pour déduire que S est supérieure au demi périmètre du quadrilatère, peut-on également utiliser l'inégalité triangulaire ? Cela donnerai : AB ≤ AO + BO et DC ≤ OD+ OC Donc AB + DC ≤ AC + BD or on sait que AC + BD ≥ BC + AD Donc AB + AD (demi périmètre) ≤ BC + AD (diagonales) Est-ce bien cela ?

Zauctore	Envoyé: 06.11.2006, 13:47
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4738 Status: hors ligne dernière visite: 07.01.09	Non cela ne tient pas, car AB + AD n'est pas le 1/2 périmètre : ce n'est pas un losange ni un rhomboïde, ce n'est qu'un quadrilatère convexe... Je dirais plutôt que S ≥ AB + CD et S ≥ BC + AD ; donc 2S ≥ AB + CD + BC + AD, cqfd.

christa19	Envoyé: 06.11.2006, 15:29
enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 7 Status: hors ligne dernière visite: 06.11.06	ok merci beaucoup pour votre aide A+

kataman	Envoyé: 06.11.2006, 18:48
enregistré depuis: nov. 2006 Messages: 8 Status: hors ligne dernière visite: 03.12.06	Trop bien. Merci beaucoup!!!