Bonjour à tous !
Voilà j'ai un exercice assez long et je plante déjà sur la deuxième question.
Données : la fonction f dérivable sur R telle que
f(0) = 0
f' (x) = 1/(1+x²)
(C) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormal.
La première question consiste à tracer l'approximation de (C) sur [0;1] par la méthode d'Euler en choisissant pour pas h=0,1.
Ca, j'ai fait. 'Suffisait d'appliquer la formule xn+1=xn+h; yn+1=yn+h*f'(xn)
La deuxième question :
2) g est la fonction définie par g(x)=f(x)+f(-x)
a)Justifier que g est dérivable sur R et calculer g'(x), pour tout réel x.
b)En déduire que f est une fonction impaire
a) Je ne vois pas du tout comment démontrer que g est dérivable sur R. Est-ce que je dois chercher une primitive de f'(x) et me baser dessus pour chercher le domaine ?*
Ensuite, pour calculer g'(x) je fais :
g'(x) = f'(x) + f'(-x)
là ça marche parce que j'ai f'(x) :
1/(1+x²) + 1/(1+(-x)²) = [1+(-x)²+1+x²] / [(1+x²)(1+(-x)²)] = 2/(1-x²)
b) Et pour finir, comment déduit-on, à partir d'une opération de fonctions dérivées, que la fonction est impaire ?
AH ! Est ce qu'il est écrit quelquepart les règles de cette histoire de "c'est une somme de fonctions dérivables sur R donc elle est dérivable sur R" ? Mon prof justifie toujours comme ça mais je n'ai retrouvé ça nulle part dans mes cours !
Est-ce que ça marche à chaque fois ? Somme, différence, produit et quotient ?
Et quand une des deux fonctions n'est dérivable que sur un intervalle I, la fonction g sera dérivable seulement sur cet intervalle I ?
aaah ! oui j'avais pensé à ce problème de (-x)² = x² mais j'avais peur que ce soit faux d'y penser ici.
g'(x) = 2/(1+x²)
La définition de la dérivée c'est... la limite de f(x)-f(a)/x-a quand x tend vers a.
et une fonction est impaire quand -f(x) = f(-x)..
Bon. Je vais potasser la-dessus.
J'ai trouvé un truc plus simple
si f est impaire alors
pour tout x appartenant à R, f(-x) = - f(x)
on pose g(x)= f(-x)
En dérivant cette égalité :
pour tout x appartenant à R,
g'(x) = - f'(-x)
or g(x)=-f(x)
donc
g'(x) = -f'(x)
alrs - f'(-x)=-f'(x)
soit f'(-x)=f'(x)
La dérivée f' est bien paire
je suis peut être allée trop vite ?
Bon si f est dérivable sur IR, il suffit d'appliquer la dérivation de la composition de fonction si x ∈ IR alors -x ∈ IR donc f '(-x) existe ; de plus
f '(-x) = f '(u(x)) avec u(x) = -x
donc f'(-x) = ????
Au fait un peu de rigueur dans l'écriture !!
Je pense que f '(x) = 1/(1+x²) et non ce qu tu as écrit !! Attention à la priorité des opérations ! Si tu avais à entrer cette expression dans une calculatrice tu l'écrirais comment ?
[quote=Gavuke]Ben... il fallait démontrer que f(x) est impaire.
est-ce que lorsque la dérivée est paire, la fonction est impaire ? si on suppose que la fonction est impaire et qu'après on prouve que la dérivée est paire c'est bon il suffit juste de mettre des équivalences
Si j'ai bien compris, tu pose une fonction g(x) = f(-x) et tu considère f(-x) comme étant de la forme f(ax+b) avec a = -1 .
Du coup, g'(x) = -f'(-x).
Par contre, après,
j'étais allée trop vite il n'y avait pas de g(-x) j'ai corrigé. la fonction est impaire donc f(-x)=-f(x) et comme g(x) = f(-x) on a g(x)=-f(x) ok?!
on a calculé g'(x) tu l'as calculé... g'(x) = -f'(-x) ensuite on revient a la ligne du dessus g(x)=-f(x) donc g'(x)=-f'(x)
donc -f'(-x) = -f'(x),
ok ?! dis nous si tu as compris
oui, d'accord, j'ai compris.
Donc, là, on a démontré que "f est impaire" équivaut à "f ' est paire". Et comme j'ai g'(x) = f'(x) + f'(-x) = 2/(1+x²) = 2f'(x), on a f ' paire.
Ainsi, f est impaire.
C'est ça ?
désolé pour l'écriture ! c'est bien entendu f '(x) = 1/(1+x²). Je détaille dans mes autres posts.
bien !!
je ne me souvenais plus que la fonction g(x) existait déjà c'est peut -être ça aussi qui t'a perturbé lol si tu veux je peux remplaçer dans notre démo g(x) par t(x) pour que ce soit plus clair :)
3) h est la fonction définie sur I= ]0;+∞[ par h(x)= f(x) + f(1/x)
a) justifier que h est dérivable sur I et calculer h'(x), pour tout x de I.
Là, j'imagine que comme h est la somme de deux fonctions, l'une dérivable sur R et l'autre dérivable uniquement sur I, h n'est dérivable que sur I.
Ensuite, pour calculer h'(x), je m'embourbe dans un petit calcul.
j'aimerais votre avis sur ma démarche.
h'(x) = f'(x) + f'(1/x)
f(1/x) est de la forme f(u(x)) avec u(x) = 1/x. Donc f' = -1/x² * f'(1/x)
Ainsi,
h'(x) = 1/(1+x²) + -1/x² * 1/(1+(1/x)²)
h'(x) = 1/(1+x²) + -1/(x²+1)
h'(x) = 0
Quand j'ai ce genre de résultat, en général, je me méfie mais..Mon calcul me paraît bon.
b)Démontrer que, pour tout x de I, h(x) = 2*f(1)
Je viens de trouver que, pour tout x de I, h'(x) = 0. Donc h est une fonction constante.
Maintenant, pour prouver qu'elle vaut 2*f(1), je ne vois pas trop comment m'y prendre.
Au tout début, j'ai calculé, par la méthode d'Euler, une approximation de f(1)≈0,81.
J'ai utilisé la formule f(1)≈f(0,9)+0,1*f'(0,9)
f(1)≈f(0,9)+[0,1/(1+0,9²)]
J'ai l'impression qu'il y aurait quelquechose à en tirer...
Oui, on a bien h'(x)=0.
D'ailleurs vu qu'à la question suivante on te demande de montrer que h(x) est égal à une certaine constante, le résultat est confirmé.
Vu qu'elle est constante, tu peux prendre le x que tu veux, tu auras toujours h(x)=h(1/2)=h(30)=h(47), tant que x appartient à l'intervalle de définition. Peut-être qu'en choisissant le bon x tu trouveras immédiatement le résultat.
@+
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