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approximation du nombre e |
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Envoyé: 01.11.2006, 16:27
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Une étoile
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dernière visite: 08.04.07
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Bonjour, j'ai un DM à faire pour la rentrée. Une question me pose quelques difficultés. Pouuriez-vous m'aider ??
Voici l'énoncé :
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = ex - (1+x)
Démontrer que pour tout réel x<1, on a : ex ≤ 1/(1-x)
Merci
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Envoyé: 01.11.2006, 18:12
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Modératrice
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dernière visite: 19.11.08
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Bonjour,
Pour répondre à ce genre de question, il faut introduire une fonction supplémentaire g qui va permettre de trouver la réponse
Il faut que tu étudies la fonction g(x) = ex - 1/(1-x)
D'après son tableau de variation tu en déduiras le signe de g(x) donc tu sauras si oui non on a bien ex ≤ 1/(1-x)
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Envoyé: 01.11.2006, 18:50
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Une étoile
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dernière visite: 08.04.07
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j'ai peut-être trouvé qqc mais je ne pense pas que les deux dernières lignes soient cohérentes, voici mon raisonnement :
ex - (1+x)≥0
1+x ≤ ex
1/(1+x) ≥ 1/ex
1/(1+x) ≥ e-x
1/(1-x)≥ex
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Envoyé: 01.11.2006, 19:08
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Modératrice
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dernière visite: 19.11.08
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Ton raisonnement est faux ; il faut que cela soit vrai pour tout x de IR or tu ne peux passer de ta première ligne à la seconde que si tu prends des précautions sur le signe de 1+x .
Je te confirme que la seule façon d'y arriver c'est d'étudier la fonction g dont je te parlais à 18h12
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Envoyé: 01.11.2006, 20:17
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dernière visite: 08.04.07
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merci, j'ai réussi.
ms en démontrant cela, je dois maintenant déduire de l'inégalité précédente que :
e ≤ (1 + 1/ n)n+1 avec n un entier naturel non nul.
je ne comprends pas pourquoi e n'a plus d'exposant x et comment faire apparaitre (1 + 1/n)n+1 depuis l'inégalité précédente.
pourriez vous de nouveau m'aider en me donnant quelques indications ???
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