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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Encadrement de x-}exp(x) sur ]- l'infini; 0] et approximation de e

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 01.11.2006, 00:03

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Bonjour à tous :), je n'arrive pas à faire ce DM et si quelqu'un pouvait se dévouer pour m'aider celui-ci ou celle-ci sera le bien venu :).

Voilà l'énoncé:


A Positions relatives de trois courbes

Le plan est rapporté à un répère orthogonal.

1. Etudier les variations de F1 définie sur R par x→exp(x)-(1+x) puis en déduire son signe.

Procéder de même avec la fonction F2 : x→ exp(x)-(1+x+x²/2).

2. En déduire que, pour tout réel x ∈]-∞; 0], 1+x≤exp(x)≤1+x+x²/2.

3. Montrer que les courbes C 1, T et C2, représentant respectivement les fonctions x→ 1+x, x→ exp(x) et x→ 1+x+x²/2, admettent la même tangente au point d'abscisse 0 (on dit qu'elles sont tangentes au point d'abscisse 0).



B Amélioration de l'encadrement et approximation de e

1. A l'aide de nouvelles fontions F3, F4, F5 et F6 bien choisies, établir, comme dans les questions A1 et A2, que, pour tout réel x ∈ ]- ∞; 0] , on a successivement :

1+x+x²/2!+x³/3! ≤ exp (x)≤ 1+x+x²/2!+x³/3!+x4/4!

1+x+x²/2!+x³/3! x4/4!+x 5/5! ≤ exp (x) ≤1+x+x²/2!+x³/3!+x4/4!!+x5/5!+x6/6!

2. En donnant à x une valeur particulière, donner un encadrement de 1/e.
En déduir une valeur approchée de e à 10^-2 près.

Voilà désolé pour la longueur, toute aide sera bien évidement la bien venue, merci d'avance !

P.S : J'ai trouvé les variations de F1 et son signe, normalement c'est décroissant en ]-∞; 0] (donc négatif) et croissant en [0;+∞[ (donc positif). J'espère que c'est bon et après j'ai trouvé que F'2=F1.


modifié par : mercury, 01 Nov 2006 - 23:15
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Envoyé: 01.11.2006, 00:20

Cosmos
miumiu

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mercury
Bonjour à tous :), je n'arrive pas à faire ce DM et si quelqu'un pouvait se dévouer pour m'aider celui-ci ou celle-ci sera le bien venu :).

Voilà l'énoncé:


A Positions relatives de trois courbes

Le plan est rapporté à un répère orthogonal.

1. Etudier les variations de F1 définie sur R par x→exp(x)-(1+x) puis en déduire son signe.

Procéder de même avec la fonction F2 : x→ exp(x)-(1+x+x²/2).

2. En déduire que, pour tout réel x ∈]-∞; 0], 1+x≤exp(x)≤1+x+x²/2.

3. Montrer que les courbes C 1, T et C2, représentant respectivement les fonctions x→ 1+x, x-} exp(x) et x-} 1+x+x²/2, admettent la même tangente au point d'abscisse 0 (on dit qu'elles sont tangentes au point d'abscisse 0).



B Amélioration de l'encadrement et approximation de e

1. A l'aide de nouvelles fontions F3, F4, F5 et F6 bien choisies, établir, comme dans les questions A1 et A2, que, pour tout réel x ∈ ]- ∞; 0] , on a successivement :

1+x+x²/2!+x³/3! ≤ exp (x)≤ 1+x+x²/2!+x³/3!+x4/4!

1+x+x²/2!+x³/3! x4/4!+x 5/5! ≤ exp (x) ≤1+x+x²/2!+x³/3!+x4/4!!+x5/5!+x6/6!

2. En donnant à x une valeur particulière, donner un encadrement de 1/e.
En déduir une valeur approchée de e à 10^-2 près.

Voilà désolé pour la longueur, toute aide sera bien évidement la bien venue, merci d'avance !

P.S : J'ai trouvé les variations de F1 et son signe, normalement c'est décroissant en ]-∞; 0] (donc négatif) et croissant en [0;+∞[ (donc positif). J'espère que c'est bon et après j'ai trouvé que F'2=F1.

bonsoir (ou plutôt bonjour)
tu as une calculette?
je peux t'assurer que F1(x) n'est jamais négative...
ce n'est pas parce que F1est décroissante qu'elle est négative regarde la courbe de x² elle est décroissante sur -l'infinie _0 et pourtant x² est-il négatif? Utilise les limites
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Envoyé: 01.11.2006, 00:33

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icon_biggrin plutôt bonsoir

lim exp(x)= +∞ et lim -(1+x)=+∞ donc F1 est positive
x→-∞
sur ]-∞;0] c'est ça ? (désolé je suis vraiment trop nulle icon_frown )
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Envoyé: 01.11.2006, 09:28

Cosmos
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mercury
icon_biggrin plutôt bonsoir

lim exp(x)= +∞ et lim -(1+x)=+∞ donc F1 est positive
x→-∞
sur ]-∞;0] c'est ça ? (désolé je suis vraiment trop nulle icon_frown )

nan !!
Ne dis pas que tu es nulle dis que tu n'es pas attentive (personne n'est nulle icon_smile )
bref ton raisonnement est presque bon il n'est pas suffisant
sur ]-∞;0] F1 est strictement décroissante ,

et
F1(0) =0
donc F1est positive sur ]-∞;0]
parce que tu vois par exemple x² -1 et bien

elle est aussi décroissante sur ]-∞;0] mais elle est négative sur [-1;0]...
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Envoyé: 01.11.2006, 09:39

Cosmos
Zorro

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mercury

3. Montrer que les courbes C 1, T et C2, représentant respectivement les fonctions x→ 1+x, x-} exp(x) et x-} 1+x+x²/2, admettent la même tangente au point d'abscisse 0 (on dit qu'elles sont tangentes au point d'abscisse 0).


Bonjour,

Je ne comprends pas ces expressions !!!!

x→ 1+x, x-} exp(x) et x-} 1+x+x²/2,

merci de les réécrire de façon plus compréhensible
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Envoyé: 01.11.2006, 23:15

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Merci beaucoup Galaxie maintenant je crois que j'ai compris icon_smile

et x→ 1+x, x-} exp(x) et x-} 1+x+x²/2,
désolé j'ai oublié de modifier icon_rolleyes

c'est x→ 1+x, x→ exp(x) et x→ 1+x+x²/2, (au départ je ne savais pas comment faire les flêche lol)

Et donc après comment dois-je faire pour F2 j'ai trouvé que F'2=F 1 mais pour les variations je n'y arrive pas icon_frown, merci d'avance
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Envoyé: 01.11.2006, 23:21

Cosmos
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or tu viens de démontrer que pour tout x F1(x) est ?????

Quand on étudie une fonction f, pourquoi calcule-t-on f '(x) ? Qu'est-ce qu'on cherche ? et pourquoi ?
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Envoyé: 01.11.2006, 23:31

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Pourquoi tout le monde m'appelle galaxie icon_frown lol moi c'est miumiu icon_razz
bref après cette petit digression revenons à nos moutons icon_wink
ok j'ai vérifé je trouve comme toi pour F2
très bien alors nous connaissons le signe de F1 (positif partout)
or F1 est la dérivée de F2
quand sur un intervalle la dérivée d'une fonction est positive alors la fonction est ... sur cet intervalle

désolée zorro je n'avais pas vu que tu avais répondu icon_smile



modifié par : miumiu, 01 Nov 2006 - 23:32
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Envoyé: 01.11.2006, 23:34

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Bonsoir icon_smile

F1 est positive et décroissante sur ]-∞;0] et positive et croissante sur [0;+∞[
on calcule f'(x) pour trouver les variations de f, on cherche les variations de F2 donc comme F'2=F1 alors F2 est positive et décroissante sur ]-∞;0] et positive et croissante sur [0;+∞[ c'est ça ?

Merci
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Envoyé: 01.11.2006, 23:38

Cosmos
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de rien miumiu !!! on a répondu dans la même minute et pour quelques secondes ma réponse est arrivée la première ...

de toute façon on a eu le même discours donc on ne perturbe pas mercury !
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Envoyé: 01.11.2006, 23:43

Cosmos
miumiu

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zorro : icon_wink

mercury: presque
ne t'occupe plus des variations de F1
quand tu étudies la dérivée d'une fonction tu ne t'intéresses qu'au signe où est-ce que la dérivée est positive, négative, nulle pour après pouvoir conclure sur les variations de la fonction.
bon et bien là il se trouve que la fonction c'est F2 que la dérivée c'est F1 on ne s'occupe que du signe de F1 qui est positif partout donc F2 est ...
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Envoyé: 01.11.2006, 23:45

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icon_smile

quand sur un intervalle la dérivée d'une fonction est positive alors la fonction est positive sur cet intervalle c'est ça icon_biggrin

P.S : désolé miumiu, c'est parce que galaxie c'est écrit en plus gros icon_biggrin (et je suis un peu bibleuse →bigleuse icon_lol )


modifié par : mercury, 01 Nov 2006 - 23:53
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Envoyé: 01.11.2006, 23:49

Cosmos
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Bon miumiu, je te laisse avec mercury (la bibleuse !!! ... est-elle une fervente lectrice de la bible ????) icon_lol et ses incohérences !

Bonne nuit à tous !
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Envoyé: 01.11.2006, 23:52

Cosmos
miumiu

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mdr zorro icon_lol (pardon pour le langage sms )
rha on va reprendre les bases
f(x)=x pour tout x appartenant a R
f'(x)=1
f'(x) est strictement positif
donc f est strictement croissante sur R
ok maintenant
F2(x) =...
F'2(x)=F1(x)
F1(x) est strictement positive
donc F2 est ...
je ne voies pas comment faire plus simple lol
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Envoyé: 01.11.2006, 23:57

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Pfff vraiment désolé je suis trop tête en l'air "bibleuse" la honte icon_lol , alors désolé miumiu donc

F2(x) = exp(x)-(1+x+x²/2)
F'2(x)=F1(x)
F1(x) est strictement positive
donc F2 est strictement croissante sur R.

Bon là j'espère que j'ai bien compris icon_biggrin
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Envoyé: 02.11.2006, 00:01

Cosmos
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bravo
je suis fière de toi petit scarabé
icon_cool
je crois que moi aussi j'ai besoin de dormir
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Envoyé: 02.11.2006, 00:05

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Merci !!!

Ca a été long désolé et un grand merci et si tu es fatigué je vais te laisser aller dormir icon_smile , encore merci et à demain j'espère pour la suite du DM si ça ne t'embête pas trop icon_biggrin

Bonne nuit icon_smile
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Envoyé: 03.11.2006, 23:12

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icon_biggrin Est ce que quelqu'un peut m'aider pour la A2 icon_confused

merci d'avance
Top 
Envoyé: 03.11.2006, 23:37

Cosmos
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bonjour mercury ça fesait longtemps lol
alors tu as bien étudié F2 tu as vu qu'elle était croissante tu as calculé ses limites en -∞ en 0 et en +∞
si ce n'est pas le cas il faut le faire lol
donc tu dois voir que sur ]-∞,0] la fonction F2 est négative
donc exp(x)-(1+x+x²/2)≤0
on se souvient tous que F1 est positive tout le temps donc en particulier sur notre intervalle
exp(x)-(1+x)≥0
maintenant que je t'ai bien traduis un dernier effort je te laisse finir ;)
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Envoyé: 04.11.2006, 00:26

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icon_biggrin bonsoir miumiu donc

exp(x) ≤ (1+x+x²/2)

exp(x) ≥ (1+x)

donc (1+x)≤exp(x)≤(1+x+x²/2) c'est ça ?
Top 
Envoyé: 04.11.2006, 00:35

Cosmos
miumiu

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bravo !!
lol
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Envoyé: 04.11.2006, 00:46

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Merci !!! lol

Il faut dire que j'ai aucun mérite... le travail a été "un tout petit peu" maché lol icon_biggrin

J'ai un dernier problème (promis c'est le dernier icon_smile )
C'est la question B2 je ne sais pas comment faire, merci d'avance icon_smile
Top 
Envoyé: 04.11.2006, 01:01

Cosmos
miumiu

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;)
regarde par le plus pur des hasards pour x=-1
ex=e-1=...
tu remplaçes dans l'inéquation tu fais de beaux calculs et tu regardes sur ta calculette si tu ne t'es pas trompé
je ne sais pas si ça sert vraiment je ne pense pas dans cette question en tout cas mais tu peux traduire
1+x+x²/2!+x³/3!+x^4/4!+x 5/5! par une somme


modifié par : miumiu, 04 Nov 2006 - 01:01
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Envoyé: 04.11.2006, 01:05

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Bon je vais voir ça mais en attendant je vais faire un petit dodo icon_smile

Je vous souhaite une bonne nuit et vous dit un grand merci icon_smile
Top 
Envoyé: 04.11.2006, 01:09

Cosmos
miumiu

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de rien maintenant que tu n'as plus de questions je vais aussi aller dormir :)
bonne nuit
Top 


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