Exercice de DM sur les complexes

Bonjour, me revoila avec un problème pour un exercice d'un dm. Voila l'énoncé et les questions de l'exercice:

**1) Résoudre dans C l'équation d'inconnue Z: Z²+(√3 -1)Z - √3=0

Résoudre dans C les équations d'inconnue z:
a) z + 1/z= 1
b) z + 1/z= - √3
Soit P le polynome défini, pour tout complexe z, par:
P(z) = $z^4$ + (√3 -1)z³ + (2 -√3)z² + (√3 -1)z + 1

a) Vérifiez que l'équation P(z)=0 équivaut à P(z)/z²=0
b) En posant Z=z + 1/z, exprimer P(z)/z² en fonction de Z. En déduire les solutions de P(z)=0**

Pour le 1) j'ai trouvé Z1= (-√3 + 1 + √(4+2√3))/2 et Z2 pareil mais avec un - devant le √4

Pour le 2a) j'ai trouvé z1=1/2 + (√3/2)i et z2 pareil avec un -
pout le b) j'ai trouvé z1=-√3/2 - 1i/2 et z2 pareil avec un -

Là où j'ai un problème c'est au 3).
Pour le a) j'ai essayé de posé P(z)=P(z)/z² mais je suis bloquée alors que je ne vois pas quoi faire d'autre. Et pour le b) je ne sais pas du tout ce que je peux faire!

Merci de bien vouloir m'aider pour le 3)

bonjour,

$P(z)/z^2$ =0 ⇔ P(z) = 0 et $z^2$ ≠ 0 ⇔ P(z) = 0 et z ≠ 0
or si z = 0 alors P(z) ≠ 0 donc cette condition est inutile

donc $P(z)/z^2$ =0 ⇔ P(z) = 0

Si Z = (z+1)/z , il faut calculer z en fonction de Z et remplacer z par cette expression dans
P(z) / $z^2$ ... Cela devrait s'arranger !

oula, je pensais qu'il fallait faire des calculs en fait ^^. Par contre, j'ai pas très bien compris le "donc cette condition est inutile".

Et pour la suite il faut en fait trouver quelque chose du genre:
z = quelque chose avec Z
puis remplacer tous les z de P(z)/z² par ce qu'on a trouvé?

merci!

Puisque P(0) ≠ 0 alors [P(z) = 0 et z≠ 0] ⇔ P(z) = 0

Citation
Il faut en fait trouver quelque chose du genre:
z = quelque chose avec Z
puis remplacer .....

oui c'est ça !!

Bonjour !
Peux tu m'expliquer pour le 2-a) et b) comment on trouve ce résultat s'il te plait ?
Car j'ai beau chercher, je ne trouve pas
Merci d'avane