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Animatrix
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Envoyé: 11.10.2006, 14:15
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Voie lactée
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Bonjour,
Voici mon exercice :
Partie A - Etude préliminaire
On donne la fonction f définie sur [0;1] par :
f(x) = (x) / (1+x)
1. Etudiez le sens de variation de f
Dresses son tableau de variation.
2. Démontrez que si 0 < x <1/10, alors
0 < f(x) < 1/11
Partie B- Achat d'essence
1.a) Le prix d'un litre d'essence est p (p est exprimé en euros). Quel est le volume V1 du carburant acheté pour 100€ ?
b) Le prix du litre d'essence a augmenté de 25% par rapport à p. Quel est le volume V2 du carburant acheté pour 100€ ?
c) Calculez V2/V1 et vérifiez que le pourcentage de diminution de volume du carburant acheté est 20%.
2. Plus généralement, démontrez que si le prix augmente de t%, alors le volume baisse de n% avec :
n = (100t) / (100 + t)
On pose x = t/100 et y = n/100. Expimez y en fonction de x.
3. On suppose que l'augmentation du prix du litre de carburant est inférieure à 10%, c'est-à-dire que 0 < x < 0,1.
A-t-on raison de dire que la diminution de volume de carburant acheté en résultant est inférieure à 10% ? Justifiez votre réponse.
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Animatrix
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Envoyé: 11.10.2006, 14:16
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Voie lactée
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Partie A :
1. Il faut étudier la dérivée de f, puis la poser = 0.
Est-ce bien cela ?
2. Il faut à priori que j'utilise le théorème de la valeur intermédiaire, mais je ne vois pas quoi :(
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Zauctore
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Envoyé: 11.10.2006, 14:22
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Cosmos
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Pour 1, la dérivée n'est pas indispensable : avec
f(x) = (x) / (1+x) = 1 - 1/(1+x)
un TES peut voir de suite la croissance.
Pour 2 : tu n'y es pas du tout ; utilise simplement la croissance de f.
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Animatrix
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Envoyé: 11.10.2006, 17:27
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Voie lactée
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Je suis arrivé au 1].
Par contre, pour le 2, on voit d'après le tableau de variation que sur [0;1] f est croissante., donc 0 < x < 1/10
Aussi, f(0) < f(x) < f(1/11), car on sait que f(0) = 0 f(1) = 0,5 et f(1/11) = 0.83
mais je n'en suis vraiment pas sur du tout.
Par contre, pour la 3 (partie B), je bloque aussi, le reste j'y suis arrivé
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Jeet-chris
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Envoyé: 11.10.2006, 18:26
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Modérateur
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Salut.
J'ai faillit dire parfait en lisant le début de ton raisonnement. Je le reprends en corrigeant les fautes:
+ 0 < x < 1/10
+ Or f est croissante sur [0;1], donc en particulier sur [0;1/10].
+ Alors f(0) < f(x) < f(1/10).
Pourquoi as-tu écrit f(1/11) ?
Maintenant remplace f(0) et f(1/10) par leurs valeurs dans l'inégalité en valeurs exactes(!), c'est-à-dire sous forme fractionnaire. Que remarques-tu ?
@+
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Jeet-chris
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Envoyé: 11.10.2006, 18:32
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Modérateur
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Salut.
Pour B.3), en effectuant le même raisonnement (que l'on appelle raisonnement par encadrements), encadre y.
"La diminution de volume est inférieure à 10%" doit signifier que 0 < y ≤ 10% j'imagine.
@+
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Animatrix
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Envoyé: 15.10.2006, 11:56
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Voie lactée
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Je n'avais pas vu tes messages, mais j'y étais arrivé.
merci qd meme :)
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