Bonjour ,
j'ai un exercice qui me donne du mal , et je sais pas si ce que j'ai fait est juste ou pas , si je suis dans la bonne voie ou pas ...
Donc :
x ∈ et n ∈ *
On pose Cn = cos x + cos 3x + ... + cox(2n-1)x
1) En utilisant les formules trigonometriques prouvez que :
sin(a)cos(b) = 1/2 * (sin(a+b) + sin (a-b)) [1]
et sin 2a = 2*sin(a)cos(a) [2]
Donc ça je l'ai démontré pas de problème ( c'est pour que vous sachiez que j'avais ça en question préliminaire , ça peut vous aider pour la suite).
2) Transformez en des sommes les expressions suivantes:
sin(x) *cos((2n+1)x) et sin (nx) * cos (nx)
Donc pour la première j'ai fait :
sin(x) *cos((2n+1)x) = sin(x)*cos(2nx+x)
= 1/2 * ( sin (x + 2nx+x) + sin ( x - (2nx +x)) ==> ici je me sert de [1]
= 1/2 * ( sin (2x(n+1)) + sin (-2nx) )
= sin(n+1)*cos(n+1) + sin ( -nx) * cos ( -nx) ==> ici je me sert de [2]
Donc voilà et pour la deuxieme j'ai fait :
sin ( nx) * cos (nx) = 1/2 sin ( 2nx) là j'utilise [2] ; je sais c'est pas vraiment une somme mais bon... je sais pas ce qu'il faut faire sinon
3) Démontrez que pour tout entier n ≥ 1 et pour tout x ≠k ( avec k ∈ )
Cn = ( cos (nx) * sin (nx) ) / ( sin (x) )
Bon là j'ai commencé à démontrer par récurrence j'ai dis que
Cn+1 - cos x + cos(2n + 1)x = ( cos (nx) * sin (nx) ) / ( sin (x) )
De là j'ai développé en me servant des egalité démontrés au part avant mais ma demonstration ne marche pas...
Donc voilà si quelqu'un à le courage de m'aider dans ce long et perieux exercice je lui en serai très reconnaissant , merci d'avance !
et n ∈ 
*
( avec k ∈
)
