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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Triplets de Pythagore

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 01.10.2006, 17:16

Cosmos
Bbygirl

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Bonjour voilà j'ai un exercice de spécialité et j'ai du mal à démarrer les 2 premières questions qui m'empechent de faire la suite alors si vous pouvez m'aider ca serait super merci d'avance ;

1) Démontrer qu'un nombre pair non nul et non multiple de 4 ne peut pas etre un carré. En déduire que la somme des carrés de 2 nombres impairs ne peut pas etre un carré.

2) Soient a,b et c trois entiers naturels non nuls tels que c2 = ab et pgcd (a,b) =1.
Démontrer que a et b sont des carrés.

Voilà le début. Alors pour la question 1) , je sais qu'un nombre pair non nul peut s'écrire sous la forme n= 2k avec k appartenant à ensz*
et si en plus d'etre pair et non nul, il est non multiple de 4 , il s'écrit n = 4k + 2 avec k appartenant à ensz*

Je ne suis pas sure de ca à la base mais même si ca l'est je n'arrive pas à aller plus loin.

Merci à tous ceux qui pourront m'aider.
icon_smile
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Envoyé: 01.10.2006, 17:25

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Zauctore

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Salut

Pour la 1), être non multiple de 4 se traduit par le fait d'être de la forme 4k+1, ou 4k+2 ou 4k+3 ; être multiple de 2 impose donc d'être de la forme 4k+2, ce que tu avais parfaitement vu.

Maintenant, l'énoncé demande de montrer qu'un tel nombre ne peut pas être de la forme m².

Supposons le contraire ; on aurait alors 4k+2 = m².

Pourquoi une telle égalité est-elle impossible ? distingue par exemple le cas où m est pair et celui où m est impair.
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Envoyé: 01.10.2006, 17:42

Cosmos
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Pour le cas où m est impair on a m2 est aussi impair
Or 4k+2 est pair donc la relation 4k+2=m2 est impossible.

Pour m est pair on a m2 qui est aussi pair.
Donc normalement on se retrouve avec m = ou m = - .

Mais je ne vois pas où cela mène.
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Envoyé: 01.10.2006, 17:44

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Je dirais ceci : si m est pair, alors il s'écrit 2q. Donc on aurait 4q² = 4k+2.

Pourquoi ceci n'est-il pas possible ?
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Envoyé: 01.10.2006, 19:07

Cosmos
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4q2 = 4k+2 équivaut à q2 = k+2 or k+2 n'est pas un carré donc 4q2 = 4k+2 est impossible.

Est ce ca ?
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Envoyé: 01.10.2006, 21:18

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4q2 = 4k+2 équivaut à q2 = k+2

mais quelle horreur... est-ce ainsi que tu simplifies par 4 ?
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Envoyé: 01.10.2006, 21:46

Cosmos
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rolala il faut que j'aille me coucher si je simplifies par 4 aussi médicorement excuse moi
4q2 = 4k+2 équivaut à q2 = k+ 1/2

Mais une fois que tu trouves ca tu conclus quoi ? moi je ne vois pas
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Envoyé: 01.10.2006, 21:53

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J'aurais plutôt dit ceci : 2 = 4(q² - k).

Est-ce que ça te semble possible ? Oui-non, pourquoi ?
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Envoyé: 01.10.2006, 22:00

Cosmos
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bah je ne vois pas pourquoi ca ne serait pas possible. je vois vraiment pas là
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Envoyé: 01.10.2006, 22:02

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Est-ce que 2 est divisible par 4 ?
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Envoyé: 01.10.2006, 22:06

Cosmos
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oui c'est ce que je viens de trouver en réfléchissant un peu. ca me tue quand je ne trouve pas des choses évidentes comme ca.

Merci beaucoup beaucoup beaucoup

icon_biggrin
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Envoyé: 03.10.2006, 09:59

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Fin de la question 1

Deux nombres impairs : 2n+1 et 2m+1 ; la somme de leurs carrés est (après calculs...) de la forme 4k+2 : d'après ce qu'on s'est dit avant, ce ne peut être un carré.


Citation
2) Soient a, b et c trois entiers naturels non nuls tels que c² = ab et pgcd (a,b) =1. Démontrer que a et b sont des carrés.

Utilisons peut-être la décomposition en produit de puissances de facteurs premiers de a et b, non ?
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Envoyé: 03.10.2006, 10:25

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euh comment on décompose en produit de puissances de facteurs premiers a et b sans savoir ce que c'est ?
je sais juste que pgcd (a,b)=1 équivaut à au+bv =1 avec u et v appartenant à Z

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Envoyé: 03.10.2006, 16:10

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Non ; tu sais plutôt que pgcd(a , b) = 1 signifie : a et b n'ont aucun facteur premier en commun.

Supposons maintenant que p soit un facteur premier de c² ; alors je dis que p intervient à une puissance paire, disons p2k, dans la décomposition de c².
Du fait que a et b n'ont pas de facteur premier en commun, c'est soit a soit b qui contient le facteur p2k tout entier.
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Envoyé: 03.10.2006, 16:34

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Maintenant, si q est un facteur premier de a, par exemple, alors q ne peut être un facteur premier de b, n'est-ce pas...

Mais donc, c'est un facteur premier de c², donc il intervient à une puissance paire.

Ceci démontre donc qu'au final, les facteurs premiers de a ont tous un exposant pair ; ce qui fait de a un carré.

Même chose pour b.
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Envoyé: 03.10.2006, 16:35

Cosmos
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Oula j'ai pas vu ca moi. ca commence à devenir compliqué. Mais si c'est soit a soit b qui contient le facteur p2k tout entier ca veut dire que il n'y qu'un seul nombre (a ou b) qui est un carré ?
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Envoyé: 03.10.2006, 16:39

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Non : le raisonnement s'applique aux deux. séparément.

Ce qui se passe, c'est que les facteurs de c² se répartissent entre a et b, puisque ces deux-là n'ont pas de facteur premier.

Prends un exemple numérique pour fixer les idées : 100 est un carré ; essaie de le décomposer en un produit ab de deux nombres premiers entres eux ; tu verras que tu trouves toujours des carrés pour a et b.
Top 
Envoyé: 03.10.2006, 16:40

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Et les facteurs de c² ont forcément un exposant pair, n'est-ce pas.
Top 
Envoyé: 03.10.2006, 16:47

Cosmos
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d'accord j'ai fait l'exemple avec 100 et effectivement on trouve bien des carrés. je crois pour l'instant j'ai à peu près compris. En fait il y avait une partie du message qui n'était pas affichée au moment où j'ai répondu.
Merci icon_smile
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Envoyé: 05.10.2006, 19:17

Cosmos
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Salut, j'ai encore besoin de ton aide car il y a une suite à mon exercice. Je vais écrire l'énoncé entier mais j'en ai déjà traité une grande partie .

On consièdre un triplet (x,y,z) solution de x2+y2=z2 (E) tel que : pgcd (x,y) = pgcd (y,z) = pgcd (x,z) =1. (Un tel triplet est appelé solution primitive de (E)).

1) Démontrer que x et y sont de parités différentes : en déduire que z est impair. Dans la suite de l'exercice on considèrera que x est impair et y pair.

2) Démontrer que y2 = (z+x)(z-x), puis que pgcd (z+x;z-x) =2.
En déduire qu'il existe trois nombres x', y' et z' tels que :
y = 2y' , z+x = 2x' , z-x = 2z' et pgcd (x';z') = 1

3) Démontrer que y'2 = x'z'. En déduire que x' et z' sont des carrés. Par la suite on notera x' =u2 et z' = v2.

4) Démontrer que pgcd (u,v) =1

5) Exprimer x, y et z en fonction de u et v. En déduire la forme générale des solutions primitives de (E).

Voilà l'exercice. Alors j'ai répondu aux questions 1, 2 et 3. Seulement je suis bloquée à la question 4. Notre professeur nous a suggéré de pratiquer un raisonnement par l'absurde en supposant que pgcd (u,v) = ? > 1 mais je ne vois pas à quoi ca nous mène.

Top 
Envoyé: 05.10.2006, 21:11

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Re-salut !

alors x' et z' sont premiers entre eux et on a x' = u² ainsi que z' = v² ;

suppose que u et v ont un diviseur commun d > 1 ; alors ce serait un diviseur commun à u² et v², non ? donc à x' et z' : ce qui est exclu.
Top 
Envoyé: 05.10.2006, 21:15

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Merci beaucoup, je cherchais encore quelque chose de compliqué alors qu'il fallait faire simple.
Top 
Envoyé: 10.10.2006, 19:18

Cosmos
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Salut voilà j'ai encore une dernière question concernant cet exercice.
En conclusion, on doit démontrer que toute solution (X,Y,Z) de (E) peut s'écrire (X,Y,Z)= (ax,ay,az) où a est un entier non nul et (x,y,z) une solution primitive de (E) et en déduire la forme générale des solutions de (E).

Dans la question précédente on devait exprimer x, y et z en fonction de u et v :
cela donne x = u2 - v2
y = 2uv et z = u2 + v2

Je ne sais pas comment procéder .
Merci de m'aider icon_smile
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Envoyé: 11.10.2006, 19:51

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Soit (X, Y, Z) une solution de (E).

Si elle est primitive alors c'est ok.

Sinon, soit d le pgcd de X et Y ; alors X=dx et Y=dy.
Mais donc Z²=d²(x²+y²) : ce qui montre que d divise Z. Il reste à prouver que d est le pgcd de X et Z par ex, non ?

Comme je te l'ai dit en MP, j'ai pas trop le temps de regarder ça.

@+

modifié par : Zauctore, 11 Oct 2006 - 22:30
Top 
Envoyé: 11.10.2006, 22:14

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il faut aussi faire remarquer que si x, y et z sont solution de (E), alors dx, dy et dz en sont une autre.
Top 
Envoyé: 11.10.2006, 22:19

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C'est toujours vrai que si on multiplie toutes les solutions (x,y,z) par un même nombre a alors on trouve un autre triplet de solutions?
Et est ce que quand je dois montrer que d est aussi le pgcd de x et z je dois prendre le même nombre d ou en prendre un autre ?
Top 
Envoyé: 11.10.2006, 22:26

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Pour ta première question : oui, car on a

(dx)² + (dy)² = (dz)² ⇔ d²(x² + y²) = d² z² ⇔ x² + y² = z²
Top 
Envoyé: 11.10.2006, 22:30

Cosmos
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Donc ensuite par exemple je prend d' le pgcd de X et Z et alors X=d'x et Z=d'z

D'où Y2= Z2 - X2 = d'2 (z2+x2)

et ensuite que dois je faire?
Top 
Envoyé: 11.10.2006, 22:32

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il y a une erreur de signe, pas trop grave.

En tout cas ainsi tu montres que d' est un diviseur de Y, c'est donc un diviseur commun à X et Y : on a donc d' | d.

D'où d' = d.
Top 
Envoyé: 11.10.2006, 22:39

Cosmos
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oui je me suis trompée c'est un moins et pas un plus.

merci beaucoup icon_smile

Et donc la forme générale des solutions de (E) est : {a (u2-v2) ; 2auv ; a (u2+v2)} ?
Top 
Envoyé: 11.10.2006, 22:40

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c'est exact, à condition de préciser que u et v sont premiers entre eux et a un entier quelconque.

@+
Top 
Envoyé: 11.10.2006, 22:42

Cosmos
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dernière visite: 07.04.07
Merci merci merci icon_smile icon_smile icon_smile icon_biggrin icon_biggrin icon_biggrin

Je vais enfin pouvoir terminer mon devoir maintenant.

Merci encore et bonne nuit
Top 


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