Bonjour voilà j'ai un exercice de spécialité et j'ai du mal à démarrer les 2 premières questions qui m'empechent de faire la suite alors si vous pouvez m'aider ca serait super merci d'avance ;
1) Démontrer qu'un nombre pair non nul et non multiple de 4 ne peut pas etre un carré. En déduire que la somme des carrés de 2 nombres impairs ne peut pas etre un carré.
2) Soient a,b et c trois entiers naturels non nuls tels que c2 = ab et pgcd (a,b) =1.
Démontrer que a et b sont des carrés.
Voilà le début. Alors pour la question 1) , je sais qu'un nombre pair non nul peut s'écrire sous la forme n= 2k avec k appartenant à *
et si en plus d'etre pair et non nul, il est non multiple de 4 , il s'écrit n = 4k + 2 avec k appartenant à *
Je ne suis pas sure de ca à la base mais même si ca l'est je n'arrive pas à aller plus loin.
Pour la 1), être non multiple de 4 se traduit par le fait d'être de la forme 4k+1, ou 4k+2 ou 4k+3 ; être multiple de 2 impose donc d'être de la forme 4k+2, ce que tu avais parfaitement vu.
Maintenant, l'énoncé demande de montrer qu'un tel nombre ne peut pas être de la forme m².
Supposons le contraire ; on aurait alors 4k+2 = m².
Pourquoi une telle égalité est-elle impossible ? distingue par exemple le cas où m est pair et celui où m est impair.
Deux nombres impairs : 2n+1 et 2m+1 ; la somme de leurs carrés est (après calculs...) de la forme 4k+2 : d'après ce qu'on s'est dit avant, ce ne peut être un carré.
Utilisons peut-être la décomposition en produit de puissances de facteurs premiers de a et b, non ?
euh comment on décompose en produit de puissances de facteurs premiers a et b sans savoir ce que c'est ?
je sais juste que pgcd (a,b)=1 équivaut à au+bv =1 avec u et v appartenant à Z
Non ; tu sais plutôt que pgcd(a , b) = 1 signifie : a et b n'ont aucun facteur premier en commun.
Supposons maintenant que p soit un facteur premier de c² ; alors je dis que p intervient à une puissance paire, disons p2k, dans la décomposition de c².
Du fait que a et b n'ont pas de facteur premier en commun, c'est soit a soit b qui contient le facteur p2k tout entier.
Oula j'ai pas vu ca moi. ca commence à devenir compliqué. Mais si c'est soit a soit b qui contient le facteur p2k tout entier ca veut dire que il n'y qu'un seul nombre (a ou b) qui est un carré ?
Non : le raisonnement s'applique aux deux. séparément.
Ce qui se passe, c'est que les facteurs de c² se répartissent entre a et b, puisque ces deux-là n'ont pas de facteur premier.
Prends un exemple numérique pour fixer les idées : 100 est un carré ; essaie de le décomposer en un produit ab de deux nombres premiers entres eux ; tu verras que tu trouves toujours des carrés pour a et b.
d'accord j'ai fait l'exemple avec 100 et effectivement on trouve bien des carrés. je crois pour l'instant j'ai à peu près compris. En fait il y avait une partie du message qui n'était pas affichée au moment où j'ai répondu.
Merci
Salut, j'ai encore besoin de ton aide car il y a une suite à mon exercice. Je vais écrire l'énoncé entier mais j'en ai déjà traité une grande partie .
On consièdre un triplet (x,y,z) solution de x2+y2=z2 (E) tel que : pgcd (x,y) = pgcd (y,z) = pgcd (x,z) =1. (Un tel triplet est appelé solution primitive de (E)).
1) Démontrer que x et y sont de parités différentes : en déduire que z est impair. Dans la suite de l'exercice on considèrera que x est impair et y pair.
2) Démontrer que y2 = (z+x)(z-x), puis que pgcd (z+x;z-x) =2.
En déduire qu'il existe trois nombres x', y' et z' tels que :
y = 2y' , z+x = 2x' , z-x = 2z' et pgcd (x';z') = 1
3) Démontrer que y'2 = x'z'. En déduire que x' et z' sont des carrés. Par la suite on notera x' =u2 et z' = v2.
4) Démontrer que pgcd (u,v) =1
5) Exprimer x, y et z en fonction de u et v. En déduire la forme générale des solutions primitives de (E).
Voilà l'exercice. Alors j'ai répondu aux questions 1, 2 et 3. Seulement je suis bloquée à la question 4. Notre professeur nous a suggéré de pratiquer un raisonnement par l'absurde en supposant que pgcd (u,v) = ? > 1 mais je ne vois pas à quoi ca nous mène.
Salut voilà j'ai encore une dernière question concernant cet exercice.
En conclusion, on doit démontrer que toute solution (X,Y,Z) de (E) peut s'écrire (X,Y,Z)= (ax,ay,az) où a est un entier non nul et (x,y,z) une solution primitive de (E) et en déduire la forme générale des solutions de (E).
Dans la question précédente on devait exprimer x, y et z en fonction de u et v :
cela donne x = u2 - v2
y = 2uv et z = u2 + v2
Je ne sais pas comment procéder .
Merci de m'aider
Sinon, soit d le pgcd de X et Y ; alors X=dx et Y=dy.
Mais donc Z²=d²(x²+y²) : ce qui montre que d divise Z. Il reste à prouver que d est le pgcd de X et Z par ex, non ?
Comme je te l'ai dit en MP, j'ai pas trop le temps de regarder ça.
C'est toujours vrai que si on multiplie toutes les solutions (x,y,z) par un même nombre a alors on trouve un autre triplet de solutions?
Et est ce que quand je dois montrer que d est aussi le pgcd de x et z je dois prendre le même nombre d ou en prendre un autre ?
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