Double Réccurence

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mercury	Envoyé: 23.09.2006, 18:15
Une étoile enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 15 Status: hors ligne dernière visite: 04.11.06	Bonjour à tous, Je suis totalement bloquée à cet excercice si quelqu'un peut me donner son aide, celle-ci sera la bien venue : On concidère la suite (Un)n appartient à N définie, pour tout n≥1, par : Uo = 0, U1 = 1 et Un+1 = 7Un + 8Un-1 1) Montrer que la suite(Sn)n appartient à N définie par : Sn = Un+1 + Un est une suite géométrique. En déduire Sn en fonction de n. 2) On pose Vn = (-1) exposant n ×Un et on concidèrenla suite (Tn) ∈ N définie par Tn = Vn+1 -Vn. Exprimer tn en fonction de Sn. 3) Exprimer Vn, puis Un, en fonction de n (on pourra calculer, de deux manières, la somme To+...Tn-1). Déterminer lim Un/8 exposant n n ⇒ + ∞ Voilà, désolé si c'est un peu long, mais je n'y arrive vraiment pas Merci d'avance modifié par : mercury, 24 Sep 2006 - 01:08


Zauctore	Envoyé: 24.09.2006, 10:03
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3314 Status: hors ligne dernière visite: 16.05.08	Salut Pour voir la relation entre S_{n+1} et S_n, on fait : $\begin{align} S_{n+1} &= U_{n+2} + U_{n+1} \\&= 7U_{n+1} + 8U_n + U_{n+1} \\&= 8(U_{n+1}+U_n) \\&= 8S_n. \end{align}$ La raison est 8. Je te laisse continuer. Z, auctore.

mercury	Envoyé: 24.09.2006, 12:26
Une étoile enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 15 Status: hors ligne dernière visite: 04.11.06	Merci beaucoup !!! Donc exprimer Sn en fonction de n c'est bien S_n=8ⁿ ? Comme T_n = V _n+1 -V_n et V_n=(-1)ⁿ ×U_n Tn=(-1) ⁿ⁺¹ ×U _n+1 -((-1) ⁿ×U _n) mais apès je ne sais pas comment simplifier s'il vous plait pouvez vous m'aider Merci d'avance

Zauctore	Envoyé: 24.09.2006, 12:42
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3314 Status: hors ligne dernière visite: 16.05.08	Tu as $T_n = (-1)^{n+1}(U_{n+1} + U_n)$ Z, auctore.

mercury	Envoyé: 24.09.2006, 13:55
Une étoile enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 15 Status: hors ligne dernière visite: 04.11.06	donc T n=(-1) ⁿ⁺¹ S _n c'est ça ? Et pour la question 3) puvez vous m'aider une dernière fois s'il vous plait

Zauctore	Envoyé: 24.09.2006, 14:58
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3314 Status: hors ligne dernière visite: 16.05.08	calculons comme le suggère l'énoncé, la somme $T_0+T_1+\cdots+T_n.$ d'une part, cela vaut (-8)ⁿ, il me semble, d'après ce qu'on a vu avant ; d'autre part, cela vaut par définition et en éliminant les termes opposés $V_1-V_0 + V_2-V_1+\cdots +V_{n+1}-V_n = V_{n+1}-V_0$ d'où l'expression de V_n en fonction de n... @ toi ! Z, auctore.

mercury	Envoyé: 24.09.2006, 16:09
Une étoile enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 15 Status: hors ligne dernière visite: 04.11.06	TnN1N2+.....T2+T1+T0 =(-1)[(-8 )^n+(-8 )^(n-1) + .....+(-8 )+1] soit : (-1)[1/9(1-(-8 )^n+1)] De plus TnN1N2+.....T2+T1+T0= (VnVn)+(Vn-Vn-1)+....(V1-V0) Soit TnN1N2+.....T2+T1+T0= Vn+1 - V0 or V0=(-1)U0=0 Ainsi Vn+1= (-1)[1/9(1-(-8 )^n+1)] d'où Vn=(-1)[1/9(1-(-8 )^n] . et Un= Vn(-1)^-n Soit Un=-1/9(-1)^(-n) + 1/9(8^n) et lim Un/8^n=lim (-1/9(-8 )^(-n))+ 1/9 On obtient lim Un=1/9. Est ce que c'est ça