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récurrence |
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fabio
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Envoyé: 16.09.2006, 16:58
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enregistré depuis: sep. 2006
Messages: 9
Status: hors ligne
dernière visite: 23.01.08
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Bonjour à tous,
j'ai un DM pour lundi et je coince sur un exo.
x désigne un nombre réel et pour tout entier naturel n non nul, on pose:
Cn= cosx + cos3x +...+cos(2n-1)x
1. En utilisant les formules de trigonométrie élementaire, prouvez que :
sinacosb = 1/2(sin(a+b) + (sin(a-b))
et sin2a=2sinacosa
2.Tranformez en des sommes les expressions suivantes :
sinxcos(2n+1)x et sinnxcosnx
3. Démontrez que pour tout entier n≥1 et pour tout x≠k*pi (k∈Z):
Cn=cosnx((sinnx)/(sinx))
Pour le 1 j'ai trouvé.
Pour le 2 j'ai :
sinxcos(2n+1)x=1/2(sin(2x+2nx)+sin(2nx))
et sinnxcosnx=1/2sin2nx
Pour le 3 je ne vois pas comment faire.
Merci d'avance pour votre aide.
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Jeet-chris
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Envoyé: 16.09.2006, 17:54
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Modérateur
enregistré depuis: jun. 2005
Messages: 1162
Status: hors ligne
dernière visite: 12.05.08
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Salut.
Pour la 2), sinxcos(2n+1)x=1/2(sin(2x+2nx)+sin(2nx)), je ne suis pas d'accord avec le +sin(2nx): a-b=-2nx pour moi.
Donc:
cos((2n+1)x)=\frac{1}{2}(sin((2n+2)x)-sin(2nx)))
cos(nx)=\frac{1}{2}sin(2nx))
De plus:
 + cos(3x) + \cdots + cos((2n-1)x))
On aimerait montrer
sin(nx)}{sin(x)})
Comme écrit dans le titre, on peut raisonner par récurrence.
Pour n=1, c'est immédiat.
Pour un n donné, on sait que
sin(nx)}{sin(x)}=cos(x) + cos(3x) + \cdots + cos((2n-1)x))
Le numérateur te rappelle la question 2) non ?
Ensuite, vu que l'on ne sait pas quoi faire, pourquoi ne pas ajouter cos((2(n+1)-1)x) à C_n ? On se ramènerait alors à C_{n+1} !
Je veux dire que:
-1)x) = C_{n+1} = \frac{cos(nx)sin(nx)}{sin(x)} + cos((2(n+1)-1)x))
Or
-1)x) = cos((2n+1)x))
Arriverais-tu à manipuler tout ça pour arriver à
x)sin((n+1)x)}{sin(x)})
? Ce qui achèverait la récurrence.
Bon courage 
@+
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fabio
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Envoyé: 16.09.2006, 18:28
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enregistré depuis: sep. 2006
Messages: 9
Status: hors ligne
dernière visite: 23.01.08
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Merci beaucoup j'ai réussi à terminer.
@+
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