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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
Fin 

récurrence

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 16.09.2006, 16:58

fabio

enregistré depuis: sept.. 2006
Messages: 9

Status: hors ligne
dernière visite: 23.01.08
Bonjour à tous,

j'ai un DM pour lundi et je coince sur un exo.

x désigne un nombre réel et pour tout entier naturel n non nul, on pose:

Cn= cosx + cos3x +...+cos(2n-1)x

1. En utilisant les formules de trigonométrie élementaire, prouvez que :

sinacosb = 1/2(sin(a+b) + (sin(a-b))

et sin2a=2sinacosa

2.Tranformez en des sommes les expressions suivantes :

sinxcos(2n+1)x et sinnxcosnx

3. Démontrez que pour tout entier n≥1 et pour tout x≠k*pi (k∈Z):

Cn=cosnx((sinnx)/(sinx))

Pour le 1 j'ai trouvé.
Pour le 2 j'ai :

sinxcos(2n+1)x=1/2(sin(2x+2nx)+sin(2nx))

et sinnxcosnx=1/2sin2nx

Pour le 3 je ne vois pas comment faire.

Merci d'avance pour votre aide.
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Envoyé: 16.09.2006, 17:54

Modérateur


enregistré depuis: juin. 2005
Messages: 1469

Status: hors ligne
dernière visite: 24.02.13
Salut.

Pour la 2), sinxcos(2n+1)x=1/2(sin(2x+2nx)+sin(2nx)), je ne suis pas d'accord avec le +sin(2nx): a-b=-2nx pour moi.

Donc:





De plus:



On aimerait montrer




Comme écrit dans le titre, on peut raisonner par récurrence.

Pour n=1, c'est immédiat.
Pour un n donné, on sait que



Le numérateur te rappelle la question 2) non ?
Ensuite, vu que l'on ne sait pas quoi faire, pourquoi ne pas ajouter cos((2(n+1)-1)x) à C_n ? On se ramènerait alors à C_{n+1} !

Je veux dire que:



Or


Arriverais-tu à manipuler tout ça pour arriver à



? Ce qui achèverait la récurrence.

Bon courage icon_wink

@+
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Envoyé: 16.09.2006, 18:28

fabio

enregistré depuis: sept.. 2006
Messages: 9

Status: hors ligne
dernière visite: 23.01.08
Merci beaucoup j'ai réussi à terminer.
@+
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