Produit abcd

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	Produit abcd

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drecou	Envoyé: 12.09.2006, 19:34
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 137 Status: hors ligne dernière visite: 17.09.06	Bonjour, je souhaiterais que l'on me donne des indications car je bloque totalement. Voici l'exercice : Soit a, b, c, d quatre réels vérifiant : a=√(4-√(5-a)) b=√(4+√(5-b)) c=√(4-√(5-c)) d=√(4+√(5-d)) Calculer le produit abcd. J'ai essayé de mettre chaque égalité au carré, mais ça ne donne rien d'interessant. J'ai aussi pensé qu'il serait utile de "créer" deux fonctions : Soit f(x)=√(4-√(5-x)) et g(x)=√(4+√(5-x)) On a alors f(a)=√(4-√(5-a)) , g(b)=√(4+√(5-b)), etc. Seulement, ça ne mène à rien... Merci d'avance.


Zauctore	Envoyé: 12.09.2006, 19:44
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3314 Status: hors ligne dernière visite: 16.05.08	Salut. Si tu pouvais trouver une expression développée du polynôme $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$ avec des coefficients numériques d'après les conditions de l'énoncé, ton problème serait résolu. Z, auctore.

Zauctore	Envoyé: 12.09.2006, 19:56
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3314 Status: hors ligne dernière visite: 16.05.08	ou bien un polynôme du même genre, dont le terme constant (après développement) serait ton produit abcd. Z, auctore.

drecou	Envoyé: 15.09.2006, 12:44
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 137 Status: hors ligne dernière visite: 17.09.06	Merci pour l'indication ! Soit P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) Je développe : P(x)=x⁴-cx³-dx³-11x³+cdx²+11cx²+11dx²+10x²-11cdx-10cx-10dx+10cd Je dois donc maintenant remplacer a, b, c et d par, respectivement, √(4-√(5-a)), b=√(4+√(5-b)), c=√(4-√(5-c)) et d=√(4+√(5-d)) ? Merci d'avance.

Zauctore	Envoyé: 15.09.2006, 15:00
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3314 Status: hors ligne dernière visite: 16.05.08	Ton dvlpt est soit incomplet, soit faux. Attention : dans l'énoncé, c'est a = √(4-√(5-a)) b = √(4+√(5-b)) c = √(4-√(5+c)) d = √(4+√(5+d)) Sinon, pars plutôt de a : alors a² = 4-√(5-a) d'où 5-a = (4-a²)²... d'où un polynôme P(x) dont a est racine. Reste à voir le lien avec b, c et d. modifié par : Zauctore, 15 Sep 2006 - 15:01 Z, auctore.

drecou	Envoyé: 15.09.2006, 21:58
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 137 Status: hors ligne dernière visite: 17.09.06	Concernant l'énoncé, je ne me suis pas trompé : C'est bien : c = √(4-√(5-c)) d = √(4+√(5-d)) Pour le développement, j'ai vérifié à la calculette et je n'ai pas fait d'erreur. Je ne vois pas bien où tu veux en venir avec le a² = 4-√(5-a)... ?

Zauctore	Envoyé: 15.09.2006, 22:22
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3314 Status: hors ligne dernière visite: 16.05.08	Alors a=c et b=d, vu ton énoncé ; il suffit de calculer ab par exemple. Je veux en venir à la fabrication d'un polynôme de degré le moindre dont a soit racine. Z, auctore.

drecou	Envoyé: 16.09.2006, 22:45
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 137 Status: hors ligne dernière visite: 17.09.06	Regardez ce que je trouve : * a = √(4-√(5-a) ⇔ a²=4-√(5-a) ⇔ (4-a²)²=5-a ⇔ 16+a⁴-8a²5=0 ⇔a⁴-8a²+a+11=0 * b = √(4+√(5-b) ⇔ b²=4+√(5-b) ⇔ (b²-4)²=5-b ⇔ 16+b⁴-8b²5=0 ⇔b⁴-8b²+b+11=0 * c= √(4-√(5-c) ⇔ c²=4-√(5-c) ⇔ (4-c²)²=5-c ⇔ 16+c⁴-8c²5=0 ⇔ c⁴-8c²+c+11=0 * d = √(4+√(5-d) ⇔ d²=4+√(5-d) ⇔ (d²-4)²=5-d ⇔ 16+d⁴-8d²5=0 ⇔d⁴-8d²+d+11=0 On peut donc poser : P(x)=x⁴-8x²+x+11 Or P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = x⁴-(a+b+c+d)x³+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x²-(abc+abd+acd+bcd)x+abcd En identifiant les termes de mêmes degrés, on a : {a=1 {a+b+c+d=0 {ab+ac+ad+bc+bd+cd=-8 {bcd+acd+abd+abc=-1 {abcd=11 Or, seul abcd nous interesse. Ainsi, on a : abcd=11 PS: Par contre, est-ce que ma rédaction est bonne ?

drecou	Envoyé: 17.09.2006, 15:02
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 137 Status: hors ligne dernière visite: 17.09.06	Pouvez-vous me dire si la méthode et la rédaction sont bonnes ? Y a-t-il des erreurs ? Merci d'avance.

Zauctore	Envoyé: 17.09.2006, 19:39
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3314 Status: hors ligne dernière visite: 16.05.08	Tu utilises des équivalences qui n'en sont à mon avis pas. Les calculs ont l'air bons. *** Attends ! du fait que : a = √(4-√(5-a)) = c = √(4-√(5-c)) b = √(4+√(5-b)) = d = √(4+√(5-d)) alors abcd = a²b² = (4-√(5-a)) (4+√(5-b)) = ... ça donnerait rien de plus simple ? Z, auctore.

drecou	Envoyé: 17.09.2006, 19:46
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 137 Status: hors ligne dernière visite: 17.09.06	Zauctore Tu utilises des équivalences qui n'en sont à mon avis pas. Les calculs ont l'air bons. Ah oui, en effet, il s'agit d'implication. Citation Attends ! du fait que : a = √(4-√(5-a)) = c = √(4-√(5-c)) b = √(4+√(5-b)) = d = √(4+√(5-d)) alors abcd = a²b² = (4-√(5-a)) (4+√(5-b)) = ... ça donnerait rien de plus simple ? abcd = a²b² = (4-√(5-a)) (4+√(5-b)) = 11+a=11+b ?? Mais ce que j'ai fais plus haut, ça ne suffit pas ?

Zauctore	Envoyé: 17.09.2006, 19:56
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3314 Status: hors ligne dernière visite: 16.05.08	Non ; je voulais parler d'une démarche alternative, sans utiliser ton résultat (abcd=11). Je ne sais pas si ça va aboutir... Z, auctore.