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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
Fin 

Produit abcd

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 12.09.2006, 19:34

Voie lactée
drecou

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dernière visite: 17.09.06
Bonjour,
je souhaiterais que l'on me donne des indications car je bloque totalement. Voici l'exercice :

Soit a, b, c, d quatre réels vérifiant :
a=√(4-√(5-a))
b=√(4+√(5-b))
c=√(4-√(5-c))
d=√(4+√(5-d))

Calculer le produit abcd.

J'ai essayé de mettre chaque égalité au carré, mais ça ne donne rien d'interessant.
J'ai aussi pensé qu'il serait utile de "créer" deux fonctions :
Soit f(x)=√(4-√(5-x)) et g(x)=√(4+√(5-x))
On a alors f(a)=√(4-√(5-a)) , g(b)=√(4+√(5-b)), etc.
Seulement, ça ne mène à rien...

Merci d'avance.
Top 
 
Envoyé: 12.09.2006, 19:44

Modérateur
Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
Salut.
Si tu pouvais trouver une expression développée du polynôme

avec des coefficients numériques d'après les conditions de l'énoncé, ton problème serait résolu.
Top 
Envoyé: 12.09.2006, 19:56

Modérateur
Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
ou bien un polynôme du même genre, dont le terme constant (après développement) serait ton produit abcd.
Top 
Envoyé: 15.09.2006, 12:44

Voie lactée
drecou

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dernière visite: 17.09.06
Merci pour l'indication !

Soit P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
Je développe :
P(x)=x4-cx³-dx³-11x³+cdx²+11cx²+11dx²+10x²-11cdx-10cx-10dx+10cd

Je dois donc maintenant remplacer a, b, c et d par, respectivement, √(4-√(5-a)), b=√(4+√(5-b)), c=√(4-√(5-c)) et d=√(4+√(5-d)) ?


Merci d'avance.
Top 
Envoyé: 15.09.2006, 15:00

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Zauctore

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Ton dvlpt est soit incomplet, soit faux.

Attention : dans l'énoncé, c'est
a = √(4-√(5-a))
b = √(4+√(5-b))
c = √(4-√(5+c))
d = √(4+√(5+d))

Sinon, pars plutôt de a : alors a² = 4-√(5-a) d'où 5-a = (4-a²)²... d'où un polynôme P(x) dont a est racine. Reste à voir le lien avec b, c et d.

modifié par : Zauctore, 15 Sep 2006 - 15:01
Top 
Envoyé: 15.09.2006, 21:58

Voie lactée
drecou

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dernière visite: 17.09.06
Concernant l'énoncé, je ne me suis pas trompé :
C'est bien :
c = √(4-√(5-c))
d = √(4+√(5-d))
icon_wink

Pour le développement, j'ai vérifié à la calculette et je n'ai pas fait d'erreur.
Je ne vois pas bien où tu veux en venir avec le a² = 4-√(5-a)... ?

Top 
Envoyé: 15.09.2006, 22:22

Modérateur
Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
Alors a=c et b=d, vu ton énoncé ; il suffit de calculer ab par exemple.

Je veux en venir à la fabrication d'un polynôme de degré le moindre dont a soit racine.
Top 
Envoyé: 16.09.2006, 22:45

Voie lactée
drecou

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dernière visite: 17.09.06
Regardez ce que je trouve :

* a = √(4-√(5-a)
⇔ a²=4-√(5-a)
⇔ (4-a²)²=5-a
⇔ 16+a4-8a²+a-5=0
⇔a4-8a²+a+11=0

* b = √(4+√(5-b)
⇔ b²=4+√(5-b)
⇔ (b²-4)²=5-b
⇔ 16+b4-8b²+b-5=0
⇔b4-8b²+b+11=0

* c= √(4-√(5-c)
⇔ c²=4-√(5-c)
⇔ (4-c²)²=5-c
⇔ 16+c4-8c²+c-5=0
⇔ c4-8c²+c+11=0

* d = √(4+√(5-d)
⇔ d²=4+√(5-d)
⇔ (d²-4)²=5-d
⇔ 16+d4-8d²+d-5=0
⇔d4-8d²+d+11=0

On peut donc poser : P(x)=x4-8x²+x+11
Or P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
= x4-(a+b+c+d)x3+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x²-(abc+abd+acd+bcd)x+abcd

En identifiant les termes de mêmes degrés, on a :
{a=1
{a+b+c+d=0
{ab+ac+ad+bc+bd+cd=-8
{bcd+acd+abd+abc=-1
{abcd=11

Or, seul abcd nous interesse.
Ainsi, on a : abcd=11



PS: Par contre, est-ce que ma rédaction est bonne ?

Top 
Envoyé: 17.09.2006, 15:02

Voie lactée
drecou

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dernière visite: 17.09.06
Pouvez-vous me dire si la méthode et la rédaction sont bonnes ?

Y a-t-il des erreurs ?

Merci d'avance.
Top 
Envoyé: 17.09.2006, 19:39

Modérateur
Zauctore

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Messages: 8175

Status: hors ligne
dernière visite: 07.03.13
Tu utilises des équivalences qui n'en sont à mon avis pas.

Les calculs ont l'air bons.
***


Attends ! du fait que :

a = √(4-√(5-a)) = c = √(4-√(5-c))
b = √(4+√(5-b)) = d = √(4+√(5-d))

alors

abcd = a²b² = (4-√(5-a)) (4+√(5-b)) = ...

ça donnerait rien de plus simple ?
Top 
Envoyé: 17.09.2006, 19:46

Voie lactée
drecou

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dernière visite: 17.09.06
Zauctore
Tu utilises des équivalences qui n'en sont à mon avis pas.

Les calculs ont l'air bons.

Ah oui, en effet, il s'agit d'implication.

Citation
Attends ! du fait que :

a = √(4-√(5-a)) = c = √(4-√(5-c))
b = √(4+√(5-b)) = d = √(4+√(5-d))

alors

abcd = a²b² = (4-√(5-a)) (4+√(5-b)) = ...

ça donnerait rien de plus simple ?

abcd = a²b² = (4-√(5-a)) (4+√(5-b)) = 11+a=11+b
??
Mais ce que j'ai fais plus haut, ça ne suffit pas ?
Top 
Envoyé: 17.09.2006, 19:56

Modérateur
Zauctore

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Messages: 8175

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dernière visite: 07.03.13
Non ; je voulais parler d'une démarche alternative, sans utiliser ton résultat (abcd=11). Je ne sais pas si ça va aboutir...
Top 


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