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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
Fin 

Raisonnement par récurrence et suites (svp, casse-tête horrible)

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 10.09.2006, 14:27

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Gavuke

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Bonjour à tous !
On m'a donné un petit problème sur les suites et le raisonnement par récurrence.

Voici l'énoncé :

Le but du problème est de démontrer que 1111...1111 (81 chiffres 1) est divisible par 81.

Soit un le nombre 111...111 écrit avec 3n chiffres 1.



Commencons déjà par la première question :

1) Expliquer la relation : un+1=(102×3n+103n+1)×un
Voilà où j'en suis : j'ai compris comment la relation fonctionne.
En développant, j'obtiens un+1=un.102×3n+un.103n+un

J'arrive donc à comprendre comment on passe de 1111...11 avec 3n chiffres 1 à 111...111 avec 3n+1 chiffres 1.

exemple avec n=1 :
un = 111 (31 chiffres 1)
un+1 = 111000000 + 111000 + 111 = 111111111 ; on a 32 chiffres 1

Mais, maintenant, comment le démontrer par le calcul ?
Dois-je partir de la relation de départ, développer pour trouver quelque chose de plus explicite, ou trouver une autre formule, comme l'expression de un avec une suite d'additions pour finalement arriver à la relation donnée dans l'énoncé ?

Je suis un peu perdu, c'est énervant car j'ai l'impression de tenir le bon bout.
En fait, je n'arrive pas à généraliser avec des n.
Si vous aviez une petite piste, j'en serais fort aise

Merci !









modifié par : Gavuke, 10 Sep 2006 - 20:48
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Envoyé: 10.09.2006, 15:00

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Gavuke

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C'est vraiment byzarre. C'est comme si ils me demandaient de démontrer que 1+1=2

Ca s'emboîte... Je sais pas ce qu'il faut faire.

Est-ce que "expliquer" veut dire qu'on doit donner une explication en français, avec des mots et pas des calculs ?

modifié par : Gavuke, 10 Sep 2006 - 20:07
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Envoyé: 10.09.2006, 22:45

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Gavuke

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Désolé de remonter le post mais je voulais rajouter la seconde partie de l'exercice, qui consiste plus à appliquer le raisonnement par récurrence.

2) Démontrer par récurrence que 3n divise un. Conclure.

Je crois que je vais me débrouiller pour la 1) mais pour celle-ci j'aimerais un petit éclaircissement.

Initialisation :
pour n = 0, 3n= 1 et un = 1 = 1×1

Po est vérifiée.

Hérédité :

On suppose Pn vraie pour un certain n≥0.

Et après il faut vérifier pour n+1
là, je doute un peu.

Je pensais partir de un=3n × m (où m serait un entier naturel) ?
Ce qui me donnerait, d'après la question 1) :
un+1= (3n×m) (102×3n+103n+1)

Puis, en développant puis factorisation par 3n :

un+1 = 3n (m.102×3n+m.103n+m)

Est-ce que ça suffit pour prouver que 3n divise un+1 ? Ca me parait byzarre...





modifié par : Gavuke, 10 Sep 2006 - 23:59
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Envoyé: 10.09.2006, 23:05

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Il faut montrer que 3n+1 divise un+1.
Or, 3n divise un+1 d'après l'HR et la formule du 1).
Maintenant, il faudrait voir si 3 divise 102×3n+103n+1.
C'est clair d'après la somme des chiffres, non ?
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Envoyé: 10.09.2006, 23:30

Cosmos
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Tu as en effet

alors le premier 1 a pour ordre de valeur

alors le premier 1 a pour ordre de valeur

le premier 1 a pour ordre de valeur

etc....

si …...avec n paquets de (111) alors il faut déterminer l'ordre de grandeur du premier 1

Idem avec …... avec n+1 paquets de (111)

ensuite il suffit d'écrire

J'espère d'avoir un peu éclairci les idées

modifié par : Jeet-chris, 11 Sep 2006 - 17:19
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Envoyé: 11.09.2006, 00:18

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Gavuke

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à Zauctore : quand tu parles de la somme des chiffres, tu veux dire que je décompose le nombre 111.....111 et que j'additione les 1 ?
en tout cas merci pour la confirmation.

Et à Zorro : merci pour la réponse. J'ai l'impression toutefois que tu as mal lu l'énoncé : le nombre un est écrit avec 3n chiffres 1 et pas 3×n
On a donc u2=111111111=111×106 et on a un ordre de grandeur de 108
et u3=111111111111111111111111111= 111×1024 avec un ordre de grandeur de 1026

Enfin, je suis passé outre et pour l'ordre de grandeur de un, j'imagine que c'est quelquechose comme 103n-1 ?
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Envoyé: 11.09.2006, 08:23

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Salut.
Non : avec la relation (1)



il suffit de prouver que



est divisible par 3. C'est immédiat, non ?
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Envoyé: 11.09.2006, 17:48

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Gavuke

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Je dois avoir quelques lacunes sur les opérations avec des puissances. Je ne vois pas.

Tout ce que je vois, c'est qu'à chaque fois on ajoute 3n à l'exposant ?

Sinon, je crois que j'ai compris pour la question 1. Voilà comment je le rédigerais :

Si un est le nombre 111...111 avec 3n chiffres 1, alors on a
u1 = 111
u2= 111111111 = u1.106+u1.103+u1

Si on généralise avec n, on retrouve la formule (1) :
un+1=un.102.3n+un.103n+un
=(102.3n+103n+1) un

Est-ce correctement rédigé ?

Et, je suis désolé Zauctore, mais j'aurais besoin de plus de précision.

modifié par : Gavuke, 11 Sep 2006 - 17:50
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Envoyé: 11.09.2006, 18:50

Cosmos
Zorro

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Hier soir je n'avais pas les yeux en face des trous et aujourd'hui je n'ai pas le courage de passer par des formules LaTeX ...

partons de Un écrit avec 3n chiffres 1

regardons A = (102.3n + 103n + 1) Un

A = 102.3n Un + 103n Un + Un

Un est écrit 3n chiffres 1

103nUn est ecrit avec 3n chiffres 1 suivis de 3n chiffres 0

102.3n Un est écrit avec 3n chiffres 1 suivis de 102.3nchiffres 0

donc la somme est écrite avec 3n puis 3n puis 3n chiffres 1

soit

3n + 3n + 3n chiffres 1

or 3n + 3n + 3n = 3n+1

donc A = Un+1


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Envoyé: 11.09.2006, 18:55

Cosmos
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Pour la 2, Zauctore t'a mis sur la piste

quels sont les chiffres qui constituent (102.3n + 103n + 1) ?

Quelle critère utilises-tu pour savoir si un nombre est divisible par 3 ?
Top 
Envoyé: 11.09.2006, 21:24

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Gavuke

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les chiffres ... 10+10+1..ça fait 21 mais avec les exposants ça doit pas être pareil ? non ?

bouh... je suis foutu, j'arrive même pas à voir un truc évident...
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Envoyé: 11.09.2006, 21:28

Cosmos
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Les chiffres utilisés sont dans l'ordre

(1), (des 0), (1), (des 0) et (1) quand on additionne ces chiffres que trouve-t-on ?
Top 
Envoyé: 12.09.2006, 19:40

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Gavuke

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... 3 ?

Je ne vois pas vraiment où vous voulez en venir
Top 
Envoyé: 12.09.2006, 19:45

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Rappelle-toi le collège : lorsque la somme des chiffres d'un nombre entier est divisible par 3, le nombre lui-même est aussi divisible par 3.
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Envoyé: 13.09.2006, 17:52

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Gavuke

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ah ? je ne me souvenais pas de ça !
C'est une propriété accpetée dans le monde des mathématiques ?

mais pour

102.3n+103n+1

je ne peux pas vraiment faire 10 + 10 + 1 à cause des exposants.
On s'en fiche ?
Top 
Envoyé: 13.09.2006, 18:24

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Tu peux le vérifier autant que tu veux. Par exemple, le nombre 597 est divisible par 3 car 597/3 = 199... or, 5+9+7 = 21, qui est divisible par 3 : ça semble marcher !

En fait, ça se démontre en jouant sur le fait que 10 = 9-1, 100 = 99-1, etc. dans la décomposition décimale des entiers.

Maintenant, 10k s'écrit avec un 1 et plein de 0... Alors, réfléchis à la somme des chiffres de 102.3n+103n+1.
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Envoyé: 14.09.2006, 19:43

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Gavuke

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Oui, oui, évidemment ! J'ai compris, merci beaucoup !

Je ne connaissait pas la propriété (ou je l'avais oubliée). C'est ça qui me manquait..

La correction de l'exercice a été donnée aujourd'hui et ils l'ont démontré comme ça aussi.


Merci de m'avoir aidé et merci de votre patience

Au revoir
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