pb suite svp

Bonsoir, encore un problème sur les suites ...
Voici les données :

$u0=1,;u1=8,;u_{0} = 1 , ; \quad u_{1}=8 , ;$
$∀n≥2,,un=4(un−1−un−2)\forall n \geq 2 , , u_{n}=4(u_{n-1} - u_{n-2})$
$u_{n} = 2^n v_{n}$

Voilà, donc j'ai reussi à faire le début , et donc on arrive à :

$v_{n} , \text{ est une suite arithm\acute{e}tique de raison 3 et de base } , v_{0}=1$
$v_{n} = 1 + 3n$
$u_{n} = 2^n(1+3n)$

Maintenant on arrive à la question à laquelle je bloque et que je voudrais comprendre comment la réussir !

_ Montrer que
$∑p=1n+1up=4un+4\displaystyle \sum_{p=1}^{n+1}u_{p} = 4u_{n}+4$

_ Puis déduire en fonction de n l'expression de

$∑p=1n+1up\displaystyle \sum_{p=1}^{n+1}u_{p}$

Je bloque, je ne sais pas comment montrer que

$∑p=1n+1up=4un+4\displaystyle \sum_{p=1}^{n+1}u_{p} = 4u_{n}+4$
...je connais ma formule de somme de termes consécutifs pour une suite arithmétique , mais elle ne doit pas servir dans ce cas-là !

Donc, si vous pouvez m'éclaircir , me lancer dans une voie !

Merci d'avance,
a+

Edit de Jeet-chris: j'ai mis les indices là où tu les avais oubliés.

Salut Julie

Ecris pour commencer ta somme ainsi

$u1+u2+⋯+un+un+1u_1 + u_2 +\cdots + u_n +u_{n+1}$

et utilise la définition de la suite.

$u_{p} = u_{1}+u_{2}+....+u_{n+1}$

donc , maintenant , je voulais utilisée la formule pour une somme de termes , mais Un n'ai pas arithmetique .

Et si je remplace Un par $u_{n}=4(u_{n-1} - u_{n-2}$ , ca ne pas pas etre possible , car c'est seulement pour ∀n , n≥2 .

Et sinon , pour la definition de la suite , je ne voix pas ce que cela veut dire ?
"..C'est une fontion de N dans R .."

Merci ,
a+

Tu dois calculer

A = $U_1$ + $U_2$ + $U_3$ + ..... + $U_n$ + $U_{n+1}$

tu remplaces $U_2$ par 4( $U_1$ - $U_0$ ) = $4U_1$ - 4
tu remplaces $U_3$ par 4( $U_2$ - $U_1$ ) = $4U_2$ - $4U_1$
......
tu remplaces $U_n$ par 4( $U_{n-1}$ - $U_{n-2}$ ) = $4U_{n-1}$ - $4U_{n-2}$
tu remplaces $U_{n+1}$ par 4( $U_n$ - $U_{n-1}$ ) = $4U_n$ - $4U_{n-1}$

Tout additionnes le tout et tu regardes ce qui te reste

Ouiii ! tout ce supprime !!!
mais , est-ce correctement demontrer ? rien de plus ,juste on barre ce qui s'annule et c'est bon ? !

Donc a l'a fin :
Up = $U_1$ - 4 + $4U_n$ ( est-ce correct d'ecrire seulement Up=... ou il faut ecrire ∑.. ? )
Up = $4U_n$ + 4

Donc :
$∑p=1n+1up=4un+4\displaystyle \sum_{p=1}^{n+1}u_{p} = 4u_{n}+4$

Apres :

$∑p=1n+1up=4un+4=4[2n(1+3n)]+4\displaystyle \sum_{p=1}^{n+1}u_{p} = 4u_{n}+4= 4[2^n(1+3n)]+4$

voila !
merci beaucoup !
Si vous avez quelques conseils pour mieux chercher , resoudre , travailler.. le probleme car je me complique souvent pour des choses simple . :rolling_eyes:

Merci de l'aide !
a bientot

salut juliedeparis,

pour le démontrer parfaitement le mieux serait de faire une récurence sur n. As-tu vu ça en cours?

je connais la reccurence ( initialisation , heriditarité..) ! Peut etre l'an dernier .! si tu pouvais me montrer , pour voir ? et peut etre comprendre !

merci raycage !!

tu veux prouver que :
∑(de p=1 à n+1)Up=4Un+4
D'abord tu initialises au rang n=1, c'est-à-dire tu prouves que la relation est vraie pour n=1 :
$U_1$ =...
ensuite tu supposes la relation vraie au rang n, tu as alors l'hypoyhèse de récurence suivante :
∑(de p=1 à n+1)Up=4Un+4
puis tu prouves que la relation est vraie au rang n+1 :
∑(de p=1 à n+2)Up=∑(de p=1 à $n+1)Up+U_{n+2}$
Or pour tout n>2, $U n = 4 (U$ {n-1} $U</em>{n-2}$ )
donc pour tout (n+2)>2, $U$ {n+2} $= 4 (U$ {n+1} $U_n$ ).
Je te laisse terminer, pour conclure tu dis que la relation est vraie au rang n+1, elle est donc vraie pour tout n>1 (puisque l'initialisation s'est faite au rang 1)

$U_1$ = 4×8 +4 = 36

on suppose que la propriete est vrai au rang n : $∑p=1n+1up=4un+4\displaystyle \sum_{p=1}^{n+1}u_{p} = 4u_{n}+4$

Donc , si la propriete est vrai au rang , elle doit l'etre au rang n+1 :

$∑p=1n+2up=∑p=1n+1up+un+2\displaystyle \sum_{p=1}^{n+2}u_{p}=\displaystyle \sum_{p=1}^{n+1}u_{p}+u_{n+2}$

Or ∀n , n≥2 , Un= $4 (U$ {n-1} $U</em>{n-2)}$
Donc , n+2≥2 , alors $U$ {n+2} $= 4 (U$ {n+1} $U_n$ ) = $4U_{n+1}$ $4U_n$

$∑p=1n+2up=∑p=1n+1up+4un+1−4un\displaystyle \sum_{p=1}^{n+2}u_{p}=\displaystyle \sum_{p=1}^{n+1}u_{p}+ 4u_{n+1} -4u_{n}$
Donc :

$∑p=1n+2up=4un+4+4un+1−4un=4un+1+4\displaystyle \sum_{p=1}^{n+2}u_{p}=4u_{n}+4+ 4u_{n+1} -4u_{n} = 4u_{n+1}+4$

$∑p=1n+2up=4un+1+4\displaystyle \sum_{p=1}^{n+2}u_{p}=4u_{n+1}+4$

La propriete est vrai au rang n+1 , donc elle est vrai pour tout rang n≥1 .
Donc elle est vrai au rang n ! donc :

$∑p=1n+1up=4un+4\displaystyle \sum_{p=1}^{n+1}u_{p} = 4u_{n}+4$

Voila , c'est toi qu'a tout fais

merci !!