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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
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Problème : Algorithme de Babylone pour rac(5

  - catégorie non trouvée dans : 1ère
Envoyé: 21.08.2006, 09:42

Oréa

enregistré depuis: août. 2006
Messages: 1

Status: hors ligne
dernière visite: 21.08.06
Voilà, j'ai un petit problème avec un problème de maths, j'ai résolu le début, mais j'arrive à rien sur la fin :
On veut calculer des valeurs approchées décimales de racines carrées, comme racine5, par une méthode ancienne "l'algorithme de Babylone".

**********

1) Soit un nombre positif a.
Montrer en utilisant la fonction inverse que
si a > racine5, alors 5/a < racine5.
En prenant a = 2.5, déduire un encadrement de racine5.

2) On pose uo = 2,5 et u1 = 1/2*(uo + 5/uo).
Montrer que racine5 < u1 < uo et en déduire un autre encadrement de racine5.
Comparer les amplitudes des deux encadrements.

3) Généralisation
On considère la suite définie par u0 = 2,5 et un+1 = 1/2*(un + 5/un).

a) Donner une valeur approchée des cinq premiers termes de cette suite avec une précision de 10-5.

b) Montrer que, pour tout nombre entier n, un+1 - racine5 = (un - racine5)²/2un.

c)Montrer que, pour tout nombre entier n, un > racine5

d) En utilisant la question 1) et les nombres u2, u3, u4, donner trois nouveaux encadrements de racine5. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement de la suite (un) ?

4) Démontere que, pour tout nombre entier n, un - racine5 / un <= 1.
Déduire de la question 3)b), que un+1 - racine5 <= 1/2*(un - racine5).

5) Démontrer que u0 - racine5 <= 1,
u1 - racine5 <= 1/2,
u2 - racine5 <= 1/2² et u3 - racine5 <= 1/23.

On admettra que, pour tout nombre entier n, 0 <= un - racine5 <= 1/2n. En déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite.

**********

Voilà donc mes réponses :
1)
a > V5
1/a < 1/V5
5/a < 5/V5
5/a < V5
---
Avec a = 2,5, comme 2,5 > V5 --> 5/2,5 < V5
2 < V5
Et donc 2 < V5 < 2,5
-----
2)
u1 = (1/2)*(2,5 + 5/2,5) = (1/2)*(4,5) = 2,25
et comme V5 = 2,23...
On a bien 5 < u1 < uo
---
Avec a = 2,25, comme 2,25 > V5 --> 5/2,25 < V5
20/9 < V5
Et donc 20/9 < V5 < 2,25
2,22... < V5 < 2,25
2,22 < V5 < 2,25
Ici l'amplitude de l'encadrement est = 0,03 pour 0,5 le cas précédent.
-----
3)
b)
U(n+1) - V5 = (1/2)*(Un + 5/Un) - V5
U(n+1) - V5 = (1/2)*(Un² + 5)/Un - V5.Un/Un
U(n+1) - V5 = (Un² + 5 / 2Un ) - (V5.Un/Un)
U(n+1) - V5 = Un² + 5 - 2V5.Un / 2Un
U(n+1) - V5 = (Un - V5) / 2Un
-----

Merci d'avance si vous me répondez...



modifié par : Zauctore, 21 Août 2006 @ 12:21
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Envoyé: 21.08.2006, 12:27

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

Status: hors ligne
dernière visite: 07.03.13
Salut

j'ai légérement modifié le titre et la composition de l'énoncé

tu disais initialement que ce n'était pas très urgent...
et tu postes sur deux forums ?
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