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Problème : Algorithme de Babylone pour rac(5 |
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Envoyé: 21.08.2006, 09:42
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enregistré depuis: aoû. 2006
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dernière visite: 21.08.06
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Voilà, j'ai un petit problème avec un problème de maths, j'ai résolu le début, mais j'arrive à rien sur la fin :
On veut calculer des valeurs approchées décimales de racines carrées, comme  5, par une méthode ancienne "l'algorithme de Babylone".
**********
1) Soit un nombre positif a.
Montrer en utilisant la fonction inverse que
si a > 5, alors 5/a < 5.
En prenant a = 2.5, déduire un encadrement de 5.
2) On pose uo = 2,5 et u1 = 1/2*(uo + 5/uo).
Montrer que 5 < u1 < uo et en déduire un autre encadrement de 5.
Comparer les amplitudes des deux encadrements.
3) Généralisation
On considère la suite définie par u0 = 2,5 et un+1 = 1/2*(un + 5/un).
a) Donner une valeur approchée des cinq premiers termes de cette suite avec une précision de 10-5.
b) Montrer que, pour tout nombre entier n, un+1 - 5 = (un - 5)²/2un.
c)Montrer que, pour tout nombre entier n, un > 5
d) En utilisant la question 1) et les nombres u2, u3, u4, donner trois nouveaux encadrements de 5. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement de la suite (un) ?
4) Démontere que, pour tout nombre entier n, un - 5 / un <= 1.
Déduire de la question 3)b), que un+1 - 5 <= 1/2*(un - 5).
5) Démontrer que u0 - 5 <= 1,
u1 - 5 <= 1/2,
u2 - 5 <= 1/2² et u3 - 5 <= 1/23.
On admettra que, pour tout nombre entier n, 0 <= un - 5 <= 1/2n. En déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite.
**********
Voilà donc mes réponses :
1)
a > V5
1/a < 1/V5
5/a < 5/V5
5/a < V5
---
Avec a = 2,5, comme 2,5 > V5 --> 5/2,5 < V5
2 < V5
Et donc 2 < V5 < 2,5
-----
2)
u1 = (1/2)*(2,5 + 5/2,5) = (1/2)*(4,5) = 2,25
et comme V5 = 2,23...
On a bien 5 < u1 < uo
---
Avec a = 2,25, comme 2,25 > V5 --> 5/2,25 < V5
20/9 < V5
Et donc 20/9 < V5 < 2,25
2,22... < V5 < 2,25
2,22 < V5 < 2,25
Ici l'amplitude de l'encadrement est = 0,03 pour 0,5 le cas précédent.
-----
3)
b)
U(n+1) - V5 = (1/2)*(Un + 5/Un) - V5
U(n+1) - V5 = (1/2)*(Un² + 5)/Un - V5.Un/Un
U(n+1) - V5 = (Un² + 5 / 2Un ) - (V5.Un/Un)
U(n+1) - V5 = Un² + 5 - 2V5.Un / 2Un
U(n+1) - V5 = (Un - V5) / 2Un
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Merci d'avance si vous me répondez...
modifié par : Zauctore, 21 Août 2006 @ 12:21
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Envoyé: 21.08.2006, 12:27
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Modérateur
enregistré depuis: aoû. 2005
Messages: 4739
Status: hors ligne
dernière visite: 08.01.09
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Salut
j'ai légérement modifié le titre et la composition de l'énoncé
tu disais initialement que ce n'était pas très urgent...
et tu postes sur deux forums ?
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