Première propriété
Soit un cercle de centre O circonscrit à trois points A, B, C.
Soit M le point d'intersection de la bissectrice de l'angle  et du cercle.
Préciser la position du point M. coquille rectifiée, marci Madvin
Propriété : la bissectrice de BAC coupe l'arc BC intercepté en son milieu M.
En effet, les angles inscrits BAM et MAC sont égaux ; les angles au centre correspondants BOM et MOC sont donc aussi égaux. On en déduit que les arcs BM et MC sont égaux.
Depuis quand un angle a-t-il une médiatrice je vous prie mon cher ?
A corriger en utilisant bissec .
Et puis t'as déjà donné la réponse ? J'ai même pas pu chercher...
Mais apparemment j'aurais pas trouvé. Faut utiliser quelle propriété pour déduire de BAM = CAM que BOM = COM ?
[EDIT] J'aurais pu corriger moi-même mais je n'ose pas toucher les écritures du maître...
Bon pour celui-ci, il est tard, je suis fatigué, alors je vais juste commencer...
Soit un point J.
J est le centre du cercle circonscrit au triangle BCI si et seulement si BJ = CJ = IJ et ce point est unique (faut pas le démontrer ça au moins ? ...quoique ça pourrait-être intéressant... )
Or ton dessin donne la réponse. (t'aurais peut-être pas dû )
Il faut en fait montrer que ce point J n'est rien d'autre que le point M.
Donc il suffit juste de montrer que IM = BM = CM.
Or d'après la première propriété, on sait que BM = CM.
Manque plus qu'à prouver l'égalité avec IM...
Oui je sais je me suis pas foulé mais il est tard...
Pour ton post de 1:52, c'est le théorème de l'angle au centre qui joue : l'angle au centre est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.
Pour celui de 2:16, c'est justement l'égalité avec cette dernière longueur qui n'est pas si facile.
Voici la configuration de base (avec un côté diamètre) pour prouver le théorème de l'angle au centre...
A toi de voir pourquoi (beta) = 2 (alpha), et comment on traite les autres cas de figure...
Alors il faut donc démontrer également que (beta) = 2 (alpha)
Le triangle OAB est isocèle en O car OA = OB.
Soit (gamma) = OAB = OBA
donc AOB = - 2 (gamma)
Le triangle AOC est isocèle en O car OA = OC.
Soit (delt) = OAC = OCA
donc AOC = - 2 (delt)
Or AOB + BOC + COA = 2
donc - 2 (gamma) + (beta) + - 2 (delt) = 2
donc - 2 (gamma) + (beta) - 2 (delt) = 0
donc (beta) = 2 ((gamma) + (delt))
Or CAB = OAB + OAC
donc (alpha) = (gamma) + (delt)
Donc (beta) = 2 (alpha)
CQFD
La classe... Mais c'était à ma portée ça... Par contre pour en revenir à la deuxième propriété de la bissectrice, c'est autre chose... Faut utiliser une autre propriété géométrique ou uniquement des déductions élémentaires ?
Voir message précédent posté le 27.07.2006, 19:00.
On y a démontré que (beta) = 2 (alpha).
Cas 2 :
Soit les notations rajoutées sur le dessin précédent.
ADB et CDO sont opposés par le sommet donc ADB = CDO = (theta)
Le triangle ABO est isocèle en O car AO = BO
donc OAB = OBA = (omega) = (alpha) + (omeg) (1)
Le triangle ACO est isocèle en O car AO = CO
donc OAC = OCA = (omeg) (2)
La somme des angles d'un triangle est égal à
donc dans le triangle ABD, on a = (alpha) + (theta) + (omega)(3)
donc dans le triangle CDO, on a = (omeg) + (beta) + (theta)(4)
donc (beta) = (alpha) + (alpha)
donc (beta) = 2 (alpha)
CQFD
Cas 3 :
Soit les notations rajoutées sur le dessin précédent.
Le triangle OAC est isocèle en O car OA = OC
donc OCA = OAC = (theta) (1)
et = AOC + 2 (theta) (2)
Le triangle OAB est isocèle en O car OA = OB
donc OBA = OAB = (omega) (3)
et = AOB + 2 (omega) (4)
Or CAB = (alpha) = OAC + OAB
donc d'après (1) et (3) (alpha) = (theta) + (omega) (5)
De plus BOC = (beta) = AOB + AOC (6)
Or en faisant (2) + (4) on obtient
2 = AOB + AOC + 2 ((theta) + (omega))
ce qui fait d'après (5) et (6)
2 = (beta) + 2 (alpha)
donc (beta) = 2 ( - (alpha))
Ah ben voilà !! Je savais bien qu'il fallait utiliser une propriété que je ne connaissais pas...
"angles inscrits interceptant le même arc" : je n'ai absolument aucun souvenir de cette propriété !! Etait-elle vraiment enseignée y a 10ans ? M'en souvient vraiment pas ...
Mais bon elle découle de toute façon de la propriété "l'angle au centre est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc" qu'on a démontré un peu plus haut...
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J'ai même pas pu chercher... 
)
- 2 (alpha)
Mais c'était à ma portée ça... Par contre pour en revenir à la deuxième propriété de la bissectrice, c'est autre chose... 
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