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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
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Propriétés des bissectrices...

  - catégorie non trouvée dans : 3ème
Envoyé: 26.07.2006, 16:22

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Zauctore

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Première propriété
Soit un cercle de centre O circonscrit à trois points A, B, C.
Soit M le point d'intersection de la bissectrice de l'angle  et du cercle.
http://pix.nofrag.com/e5/b3/7354e632afca5ff7c62f73f3813e.jpg
Préciser la position du point M.
coquille rectifiée, marci Madvin



modifié par : Zauctore, 27 Juil 2006 @ 11:27
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Envoyé: 26.07.2006, 20:38

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Propriété : la bissectrice de BAC coupe l'arc BC intercepté en son milieu M.

En effet, les angles inscrits BAM et MAC sont égaux ; les angles au centre correspondants BOM et MOC sont donc aussi égaux. On en déduit que les arcs BM et MC sont égaux.



modifié par : Zauctore, 30 Juil 2006 @ 15:58
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Envoyé: 26.07.2006, 20:44

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Deuxième propriété
Avec les mêmes notations, soit de plus I le centre du cercle inscrit dans ABC.
http://pix.nofrag.com/10/76/c379c1cd63098a1cfd2d1ae08269.jpg
Déterminer le centre du cercle circonscrit à BCI.
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Envoyé: 27.07.2006, 01:52

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madvin

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Première propriété
Soit un cercle de centre O circonscrit à trois points A, B, C.
Soit M le point d'intersection de la médiatrice de l'angle  et du cercle.
http://pix.nofrag.com/e5/b3/7354e632afca5ff7c62f73f3813e.jpg
Préciser la position du point M.


Depuis quand un angle a-t-il une médiatrice je vous prie mon cher ? icon_eek

A corriger en utilisant bissec icon_biggrin.

Et puis t'as déjà donné la réponse ? icon_frown J'ai même pas pu chercher... icon_frown
Mais apparemment j'aurais pas trouvé. Faut utiliser quelle propriété pour déduire de BAM = CAM que BOM = COM ?

[EDIT] J'aurais pu corriger moi-même mais je n'ose pas toucher les écritures du maître... icon_wink



modifié par : madvin, 27 Juil 2006 @ 02:00
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Envoyé: 27.07.2006, 02:16

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Deuxième propriété
Avec les mêmes notations, soit de plus I le centre du cercle inscrit dans ABC.
http://pix.nofrag.com/10/76/c379c1cd63098a1cfd2d1ae08269.jpg
Déterminer le centre du cercle circonscrit à BCI.


Bon pour celui-ci, il est tard, je suis fatigué, alors je vais juste commencer...

Soit un point J.
J est le centre du cercle circonscrit au triangle BCI si et seulement si BJ = CJ = IJ et ce point est unique (faut pas le démontrer ça au moins ?icon_biggrin ...quoique ça pourrait-être intéressant... icon_rolleyes )

Or ton dessin donne la réponse. (t'aurais peut-être pas dû icon_wink)
Il faut en fait montrer que ce point J n'est rien d'autre que le point M.

Donc il suffit juste de montrer que IM = BM = CM.

Or d'après la première propriété, on sait que BM = CM.
Manque plus qu'à prouver l'égalité avec IM...

Oui je sais je me suis pas foulé mais il est tard... icon_biggrin



modifié par : madvin, 27 Juil 2006 @ 02:33
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Envoyé: 27.07.2006, 11:32

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Pour ton post de 1:52, c'est le théorème de l'angle au centre qui joue : l'angle au centre est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.

Pour celui de 2:16, c'est justement l'égalité avec cette dernière longueur qui n'est pas si facile.
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Envoyé: 27.07.2006, 12:24

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Pour ton post de 1:52, c'est le théorème de l'angle au centre qui joue : l'angle au centre est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.


Ah bon ?? icon_eek
Ca me dit absolument rien cette propriété, je n'en ai aucun souvenir...
Donc pour notre cas si j'ai bien compris, cela signifie que :

BOM = 2 BAM
et que
COM = 2 CAM.

Comme BAM = CAM,
on a donc BOM = 2 BAM = 2 CAM = COM.

CQFD


Zauctore

Pour celui de 2:16, c'est justement l'égalité avec cette dernière longueur qui n'est pas si facile.


Ben voui, c'est la raison pour laquelle je m'en suis pas chargé... icon_wink J'ai pas trrouvé l'astuce encore...



modifié par : madvin, 27 Juil 2006 @ 12:26
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Envoyé: 27.07.2006, 12:43

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Voici la configuration de base (avec un côté diamètre) pour prouver le théorème de l'angle au centre...
http://pix.nofrag.com/b4/a7/6257b680802751c07965e472ca3a.jpg
A toi de voir pourquoi (beta) = 2 (alpha), et comment on traite les autres cas de figure...
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Envoyé: 27.07.2006, 15:49

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Voici la configuration de base (avec un côté diamètre) pour prouver le théorème de l'angle au centre...
http://pix.nofrag.com/b4/a7/6257b680802751c07965e472ca3a.jpg
A toi de voir pourquoi (beta) = 2 (alpha), et comment on traite les autres cas de figure...


Le triangle AOB est isocèle en O car OA = OB

donc OAB = OBA = (alpha)

donc AOB = pi - 2 (alpha)

Comme A, O et C sont alignés, alors AOC = AOB + BOC = pi

donc BOC = (beta) = pi - (pi - 2 (alpha)) = 2 (alpha)

CQFD



modifié par : madvin, 27 Juil 2006 @ 18:26
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Envoyé: 27.07.2006, 18:47

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Voici la figure pour le cas général :

http://pix.nofrag.com/16/eb/b0173c09ab0d65f158d426bbcd92.jpg
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Envoyé: 27.07.2006, 19:00

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Voici la figure pour le cas général :

http://pix.nofrag.com/16/eb/b0173c09ab0d65f158d426bbcd92.jpg

Alors il faut donc démontrer également que (beta) = 2 (alpha)

Le triangle OAB est isocèle en O car OA = OB.

Soit (gamma) = OAB = OBA
donc AOB = pi - 2 (gamma)

Le triangle AOC est isocèle en O car OA = OC.

Soit (delt) = OAC = OCA
donc AOC = pi - 2 (delt)

Or AOB + BOC + COA = 2 pi
donc pi - 2 (gamma) + (beta) + pi - 2 (delt) = 2 pi
donc - 2 (gamma) + (beta) - 2 (delt) = 0
donc (beta) = 2 ((gamma) + (delt))

Or CAB = OAB + OAC
donc (alpha) = (gamma) + (delt)

Donc (beta) = 2 (alpha)

CQFD

La classe... icon_cool Mais c'était à ma portée ça... Par contre pour en revenir à la deuxième propriété de la bissectrice, c'est autre chose... icon_rolleyes Faut utiliser une autre propriété géométrique ou uniquement des déductions élémentaires ?



modifié par : madvin, 27 Juil 2006 @ 19:11
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Envoyé: 28.07.2006, 00:01

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Hé attends un peu ! tu n'as envisagé que le cas de figure où le centre est contenu "dans" l'angle (alpha)...

Sinon, on peut montrer sans propriété alambiquée que BIM est isocèle...
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Envoyé: 28.07.2006, 10:53

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Preuve sans parole de la propriété 2

Il restait à montrer par exemple que BM = MI n'est-ce pas.
Avec les angles :
http://pix.nofrag.com/13/4f/3841550dfa28b9cfebaeb9776599.jpg
Les angles BIM (gris) et MBI sont égaux...
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Envoyé: 28.07.2006, 12:43

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Hé attends un peu ! tu n'as envisagé que le cas de figure où le centre est contenu "dans" l'angle (alpha)...


Rolala t'es dur... Y a aucun moyen pour démontrer tous les cas en même temps ?
Bon ben je reprends alors...



modifié par : madvin, 28 Juil 2006 @ 15:55
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Envoyé: 28.07.2006, 12:54

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Voici les différents cas que l'on peut envisager :

Cas 1 : O se trouve dans le triangle ABC
http://pix.nofrag.com/16/eb/b0173c09ab0d65f158d426bbcd92.jpg

Démontrer que (beta) = 2 (alpha)



Cas 2 : O est à l'extérieur du triangle ABC et A est situé sur le grand arc BC
http://pix.nofrag.com/b1/6b/0845f647f35a623894ae160bb98a.jpg

Démontrer que (beta) = 2 (alpha)



Cas 3 : O est à l'extérieur du triangle ABC et A est situé sur le petit arc BC
http://pix.nofrag.com/78/4c/221fa0b598da6816193b63f1ea5f.jpg

Démontrer que (beta) = 2 (pi - (alpha))



modifié par : madvin, 28 Juil 2006 @ 21:48
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Envoyé: 28.07.2006, 15:52

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Démonstrations:


Cas 1 :

Voir message précédent posté le 27.07.2006, 19:00.
On y a démontré que (beta) = 2 (alpha).

Cas 2 :

http://pix.nofrag.com/ab/61/2a7957eb3c00e920feb424e9576c.jpg

Soit les notations rajoutées sur le dessin précédent.
ADB et CDO sont opposés par le sommet donc ADB = CDO = (theta)

Le triangle ABO est isocèle en O car AO = BO
donc OAB = OBA = (omega) = (alpha) + (omeg) (1)

Le triangle ACO est isocèle en O car AO = CO
donc OAC = OCA = (omeg) (2)

La somme des angles d'un triangle est égal à pi
donc dans le triangle ABD, on a pi = (alpha) + (theta) + (omega) (3)
donc dans le triangle CDO, on a pi = (omeg) + (beta) + (theta) (4)

En faisant (3) - (4), on obtient :

0 = (alpha) + (omega) - (omeg) - (beta)
donc (beta) = (alpha) + (omega) - (omeg)

Or d'après (1), (omega) - (omeg) = (alpha)

donc (beta) = (alpha) + (alpha)
donc (beta) = 2 (alpha)

CQFD


Cas 3 :

http://pix.nofrag.com/09/f9/f8aba9b28f6930419342edf0b91c.jpg

Soit les notations rajoutées sur le dessin précédent.

Le triangle OAC est isocèle en O car OA = OC
donc OCA = OAC = (theta) (1)
et pi = AOC + 2 (theta) (2)

Le triangle OAB est isocèle en O car OA = OB
donc OBA = OAB = (omega) (3)
et pi = AOB + 2 (omega) (4)

Or CAB = (alpha) = OAC + OAB
donc d'après (1) et (3) (alpha) = (theta) + (omega) (5)

De plus BOC = (beta) = AOB + AOC (6)

Or en faisant (2) + (4) on obtient
2 pi = AOB + AOC + 2 ((theta) + (omega))
ce qui fait d'après (5) et (6)
2 pi = (beta) + 2 (alpha)
donc (beta) = 2 (pi - (alpha))

CQFD



modifié par : madvin, 29 Juil 2006 @ 00:38
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Envoyé: 28.07.2006, 22:15

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Content ?? :-p

Manque plus qu'à démontrer cette deuxième propriété de la bissectrice...

Je le ferai plus tard je dois partir...



modifié par : madvin, 28 Juil 2006 @ 22:16
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Envoyé: 29.07.2006, 22:06

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Zauctore
Preuve sans parole de la propriété 2

Il restait à montrer par exemple que BM = MI n'est-ce pas.
Avec les angles :
http://pix.nofrag.com/13/4f/3841550dfa28b9cfebaeb9776599.jpg
Les angles BIM (gris) et MBI sont égaux...


Bon ben je vais essayer mais je garantie rien...

(BI) est la bissectrice de l'angle ABC
donc ABI = IBC (1)

La somme des angles d'un triangle est égale à pi
donc pour le triangle ABI, on a pi = BAI + ABI + AIB (2)

A, I et M sont alignés
donc AIM = pi = AIB + BIM (3)

Or en faisant (2) - (3) on obtient
0 = BAI + ABI - BIM
donc BIM = BAI + ABI (4)

Or d'après (1),
on obtient BIM = BAI + IBC

Et là je bloque... il me manque juste à montrer que MBC = BAI
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Envoyé: 30.07.2006, 13:23

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On a MBC = MAC (angles inscrits interceptant le même arc),
puis MAC = BAM (bissectrice)
d'où ce qu'il te fallait.
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Envoyé: 30.07.2006, 19:41

Cosmos
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Zauctore
On a MBC = MAC (angles inscrits interceptant le même arc),
puis MAC = BAM (bissectrice)
d'où ce qu'il te fallait.


Ah ben voilà !! Je savais bien qu'il fallait utiliser une propriété que je ne connaissais pas... icon_frown

"angles inscrits interceptant le même arc" : je n'ai absolument aucun souvenir de cette propriété !! Etait-elle vraiment enseignée y a 10ans ? M'en souvient vraiment pas icon_confused...


Mais bon elle découle de toute façon de la propriété "l'angle au centre est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc" qu'on a démontré un peu plus haut... icon_wink



modifié par : madvin, 30 Juil 2006 @ 20:18
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Envoyé: 30.07.2006, 19:55

Cosmos
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Je reprends et je finis donc :

Zauctore
Preuve sans parole de la propriété 2

Il restait à montrer par exemple que BM = MI n'est-ce pas.
Avec les angles :
http://pix.nofrag.com/13/4f/3841550dfa28b9cfebaeb9776599.jpg
Les angles BIM (gris) et MBI sont égaux...



(BI) est la bissectrice de l'angle ABC
donc ABI = IBC (1)

MBC et MAC sont des angles inscrits interceptant le même arc
donc MBC = MAC (2)

(AI) est la bissectrice de l'angle BAC
donc BAM = MAC
et d'après (2)
BAM = MBC (3)

La somme des angles d'un triangle est égale à pi
donc pour le triangle ABI, on a pi = BAM + ABI + AIB (4)

A, I et M sont alignés
donc AIM = pi = AIB + BIM (5)

Or en faisant (4) - (5) on obtient
0 = BAM + ABI - BIM
donc BIM = BAM + ABI

Or d'après (1),
on obtient BIM = BAM + IBC

Et d'après (3),
on obtient BIM = MBC + IBC = IBM

On a donc montré que BIM = IBM
donc le triangle IBM est isocèle en M
donc BM = MI

On a ainsi montré que BM = CM = MI
donc par définition,
M est le centre du cercle circonscrit au triangle BCI.

CQFD ouf ! icon_rolleyes



modifié par : madvin, 30 Juil 2006 @ 21:31
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