Connaissez-vous ceci ? le théorème d'Aubry...

Après les problèmes liées à l'hébergement des captures d'écran... voici l'article en PDF

un théorème d'Aubry sur les sommes de (deux) carrés

En voyant le titre je croyais que ça avait un rapport avec les 35h moi !!!

T'as une démonstration ? Elle est simple ou compliquée ? Je tablerais sur compliquée moi, vu la date !!

En tout cas profites-en, l'article Théorème d'Aubry est encore vide sur Wikipédia : Wikipédia - Théorème d'Aubry

Il est sympa ce théorème. Je suis curieux de voir la démonstration. Une des difficulté à mon humble avis est que la somme des carrés de 2 nombres rationnels peut être la somme de 2 OU 3 OU 4 carrés d'entiers.
Est-ce bien ainsi qu'il faut comprendre le théorème ?

partant de deux carrés de rationnels dont la somme est n, il s'agit de justifier qu'il existe deux carrés d'entiers dont la somme est encore n

ça c'est pour commencer.

je mettrai d'ici *après-*demain (si j'ai le temps) la preuve qui n'est pas triviale, bien que les idées en jeu soient élémentaires. vous verrez, c'est assez joli.

pour trois carrés, c'est sans doute une autre histoire ; ne parlons pas de quatre carrés.

J'espère que tu n'oublieras pas, ça m'intéresse beaucoup !!

Par contre personne n'a ri à ma blague :frowning2:... trop nulle ou trop subtile ?? :frowning2:

Euh.. oui oui, logique !

Mais la démo ?
Au moins un petit indice pour nous mettre sur la voie...

Et puis question toute bête comme ça : x² + y² + z² = n, c'est bien une sphère non ?
Et x² + y² + z² + t² = n une sphère de dimension 4 ? Y a un nom pour une sphère de dimension 4 ? Hypersphère ? Comme hypercube ?

Le plan de la démo (cf Guinot).

Introduis P(a/b ; c/d) sur le cercle, et P'(p ; q) à coordonnées entières le plus proche de P dans le plan.
La droite (PP') coupe C en Q. Détermine les coorodonnées de Q.
"Compare" les coordonnées de P et de Q (i.e. les dénominateurs de celles-ci).
Conclus par l'absurde...

Je me doutais bien, vu la version géométrique que tu as donnée, qu'il y aurait une équation de droite qui coupe le cercle et passant par (a/b;c/d) et un autre point particulier...
Je vais essayer de trouver pour voir...

J'ai trouvé comme équation de la droite (PP') :

y = [(q - c/d) / (p - a/b) ] x + q - [(q - c/d) / (p - a/b) ]

La démo que je connais utilise la représentation paramétrique de (PP') ; malgré tout, tu vas peut-être pouvoir obtenir les coordonnées du point Q, non ?

Je sais pas, faut voir ce qu'on trouve... !!