résoudre une équation dites intégro-différentielle

Bonjour à toutes et à tous,

J'ai déjà poster un message précedement et j'en remet un (normal je suis entrain de faire mes exos de mathématiques). J'ai encore un exo que je n'arrive pas à faire DU TOUT, j'ai eu le cour sur cet exercice mais je ne comprends pas. Pouvez-vous m'aider s'il vous plai en m'expliquant la méthode à suivre?
Voici mon exo:
Le but de l'exercice est de résoudre un exemple d'équation dite "intégro-différentielle". Le problème est de trouver une fonction f dérivable sur [0, +inf/ [, telle que f(0) = 1 , vérifiant pour tout t strictement positif la relation

20 0intt f(u) cos(4(t - u)) du - f'(t) = 2 U(t) (3)

Soit g causale et définie pour t >= 0 par
g(t) = 0intt f(u) cos (4(t - u) du

On suppose que g et f admettent des transformées de Laplace G et F

Montrer que
G(p) = p/(p²+16).F(p)
Montrer que si f est une solution de (3) alors
F(p) = (p²+16) / (p² ( p + 2 ) )
Décomposer en éléments simples la fonction F et en déduire l'expression de f(t).

je vous en serais trés reconnaissante de m'éclairer à ce sujet.

Par avance merci

Sonia

Salut.

1)A supposer que tu as eu le cours sur les transformées de Laplace, ou tout du moins ce que je vais utiliser, il te faut les notions suivantes:

Produit de convolution:

∫(0→t) f(t-u)g(u)du=f(t).g(t)

Transformée de Laplace d'un produit:

L(f(t).g(t))=F(p).G(p)

La transformée du cosinus:

L(cos(ωt))=p/(p²+ω²)

@+

Salut Jeet-chris,

Tout d'abord je te remercie encore car c'est aussi toi qui a répondu à un autre de mes problèmes, c'est sympa et je suis contente d'avoir des gens qui puissent m'aider.

Alors pour te répondre, oui j'ai eu ce cour mais le problème c'est que je comprend pas le cour sur transformé de laplace. Tu vas surement me dire "je peux rien faire de plus car sur PC c'est pas simple d'expliquer" mais peut-être peux-tu me donner une piste?

Merci encore, T sympa

Sonia

ha sayé je crois avoir trouvé la première question, est-ce:
G(p) = L [ g(t) ] (p)
= p / ( p² + 4²)
= p / ( p² + 16)
car L (cos (wx)) = p / ( p² + w² )

c'est bon ou pas?

J'ai réfléchi pour la question d'après mais je trouve pas, peux-tu m'éclaircir?

Merci encore

Sonia

Salut.

En fait, à quoi servent les transformées de Laplace? En pratique, ça sert à résoudre certaines équations différenteilles, et à étudier certaines fonctions.

Le schéma est le suivant:

On écrit l'équation différentielle liant l'entrée et la sortie de ton système (vu que tu fais un DUT réseaux et télécoms, ça te dit peut-être quelque chose les lois entrées sorties, non? En entrée t'as un dirac, un échelon, etc. et on cherche la sortie de ton signal en entrée).
On part dans le domaine de Laplace en transformant l'équation différentielle.
On bidouille.
Ce qui nous donne la sortie. On veut alors revenir dans le domaine temporel en effectuant la transformée inverse. Mais en général la fonction à une tête à faire peur(sauf avec l'habitude, on connait certains résultats par coeur).
Donc on effectue la décomposition en éléments simples de la sortie, ce qui nous ramène à des fonctions de p simples, dont on connait les transformées inverses(tu dois avoir un tableau dans ton cours).
On fait la tranformée inverse.

Qu'est-ce que l'on sait d'autre? Traitons un exemple simple pour comprendre le schmilblick.

En entrée d'un système, on a une force f(t) qui s'applique sur un bloc. En sortie, on cherche la vitesse v(t) du bloc. Donc la loi entrée-sortie, c'est ce qui donne v(t) en fonction de f(t).

Je passe sur le détail(il y a un amortisseur qui traîne). On obtient l'équation différentielle suivante(grâce au principe fondamental de la dynamique):

M.dv(t)/dt=f(t)-c.v(t)
On passe dans le domaine de Laplace:

M.p.V(p)=F(p)-c.V(p)

Pourquoi cette expression? Parce que quand on dérive, on multiplie par p, quand on intègre, on divise par p. Ici:

L(dv(t)/dt)=p.V(p) car on avait la dérivée de v(t).
L(f(t))=F(p) car on a rien fait.
L(v(t))=V(p) car on a rien fait.

Si on avait eu l'intégrale: L(∫v(t)dt)=1/p.V(p)

On cherche à obtenir une expression de la vitesse. Donc on cherche V(p)=quelque chose (en fait, c'est l'entrée multipliée par la fonction de tranfert, ou transmittance, je ne sais pas si tu as déjà vu. Si t'as fait Bode et compagnie, sûrement).

Donc on obtient: V(p)=F(p)/(c+Mp).

On veut que ça ait la tête d'une fonction du 1er ordre(si c'est dans ton cours). Donc formalisons:

V(p)=(F(p)/c)/(1+M/c.p)

et 5) On va dire que F(p)=1 (un dirac, donc une impulsion, comme un coup de marteau) pour simplifier. Donc:

V(p)=(1/c)/(1+M/c.p)

Elle est déjà décomposée en éléments simples.

Transformée inverse d'une fonction du 1er ordre:

De façon générale:

S(p)=K/(1+Tp) → s(t)=K/T.exp(-t/T)

Donc:

v(t)=1/M.exp(-ct/M)

Commentons le résultat. On a donné un coup de marteau, et l'exponentielle implique le fait que v tend rapidement vers 0. Ca paraît logique. Donc je me suis pas trompé ^^. L'équation différentielle de départ était simple à intégrer sans transformée de Laplace, tu peux vérifier.

Voilà une partie des possibilités qu'offrent les transformées de Laplace. Si tu as des questions, pose-les moi.

Revenons à ton exercice:

Non, c'est pas bon. Ils te demandent de montrer que G(p) = p/(p²+16).F(p). Tu as oublié f(t).

Si jamais tu ne vois pas pourquoi il doit y avoir un f(t) (on ne sait jamais, mais ça fera gagner du temps au cas où), allons-y tranquillement.

D'après l'énoncé, on sait que dans le domaine dit temporel(avec t quoi):

g(t)=∫(0→t) f(u).cos(4(t-u)).du

Il faut ensuite appliquer ce que je t'ai donné dans l'ordre:

Le produit de convolution: ∫(0→t) f(t-u)g(u)du=f(t).g(t)
La transformée de Laplace d'un produit: L(f(t).g(t))=F(p).G(p)
La transformée du cosinus: L(cos(ωt))=p/(p²+ω²)

Dans l'ordre, je te donne les étapes, et n'oublie que tu cherches l'expression de G(p): p/(p²+16).F(p) .

a)
Produit de convolution:identifie f et g, et ramène-toi à f(t).g(t).
b)
Transformée d'un produit:si tu as compris mon exemple plus haut, ça se fait immédiatement.
c) La transformée de f(t) de ton exo c'est F(p), et la transformée du cosinus, c'est ... . Tu remplaces dans l'expression du b).

Essaie tranquillement, et si tu ne trouves pas, écrit le détail a), b) et c) pour que je voies où ça bloque.

20∫(0→t) f(u).cos(4(t-u)).du-f'(t)=2U(t) (3)
(je la réécris simplement correctement)

Pfiou! Un peu de repos ^^, aujourd'hui j'ai fini à 17h un concours(en général c'est 18h), et je réenchaine la semaine prochaine. Ca fait du bien de se détendre l'esprit à faire du Laplace :-p.

@+

Salut,
Lol ! ! !
Toi tu te détend avec laplace mais tu fais quoi dans la vie pour trouver ça facile? T profs?
Bref, j'ai lu ton petit (grand) message et j'ai éssayé de comprendre puis je crois que j'ai compris globalement.
J'ai éssayé de faire mon exo avec ce que tu m'a dit et voici mes réponses:

en faite quand j'identifie dans la relation qui associ f ( t ) et g(t) je trouve:
f(t) = int(0 -> t) f(u)
g(t)= int(0 -> t) cos ( 4 ( t-u) )

pour trouver G(p) j'utilise la transformé de laplace de cos wt -> p / p² +w²
ce qui donne:
G(p) = L [ g ( t ) ] (p)
= L [ cos ( 4 ( t-u) ) ] (p) . L [ f(u) ]
= F ( p ) . p / p² + 4²
= F ( p ) . p/ p² +16

Me suis-je trompé?

la relation du début c'est:
20 int(0 -> t) f(u) . cos ( 4 (t-u ) ) -f' (t) = 2 U (t)

si je remplace la partie g(t) par G(t) dans cette expression ça donne
20 G(p) - f' (t) = 2U (t)

J'ai remarqu'é dans mon cour quelque chose d'interressant (puisque dans le sujet de l'exo il dit " trouver une fonction f dérivablesur [0;+inf[, telle que f(o) =1") qui est une partie la dérivation:
f'(t) -> p F(p) - f(o+)

Puis la transformé de laplace du 2 U(t) -> 2/p (je l'ai trouvé dans mon cour sur une feuille polycopié)

j'ai supposé que c'était interssant alors je m'en suis servi et voici ce que donne ma relation:
20 p/ p²+16 . F (p) - p F(p) - f (o+) = 2/p

voici mes calculs:
20 p/ p²+16 . F (p) - p F(p) + 1 = 2/p
20 p /p²+16 . F(p) - p F(p) = 2/p -1
20 p /p²+16 . F(p) - p F(p) = (2-p) /p
p F(p) [ ( 20/p²+16 ) -1 ] = (2-p) / p
p F(p) [ ( 20/p²+16 ) - ( p²-16/p²+16 ) ] = (2-p)/p
p F(p) [ ( 20-p² -16) / p²+16 ] = (2-p) / p
p F(p) [ ( 4- p²) / p²+16] = (2-p)/p
p F(p) = ( (2-p/p) x [ (p²+16) / 4 -p² ]
p F(p) = [ (2-p) x (p²+16) ] / [ p x (4 -p²)]
p F(p) = [ 2-p x p²+16 ] / [ p x (2-p)(2+p) ]
F(p) = p²+16 / p² ( 2 +p)

Voilà je trouve le bon résultat mais est-ce la bonne méthode? Est-ce que j'applique bien ce qu'il faut?

Décomposer en éléments simples, un ami est venu m'aider et j'ai compris comment ça marchait donc pas besoin de m'expliquer à ce niveau, merci.

Ouah!! Encore un pti roman mais je dois dire que je ne fais pas aussi fort que toi mais en mm temps ça m'a bien servi. Et mm si je sais que je me répète, je tiens à te le dire, MERCI!!!
Sonia

Salut.

Attention! Tu as fait une erreur assez grave:

Tu ne peux pas dire que

∫(0→t) f(t-u).g(u)du=∫(0→t) f(t-u)du .∫(0→t) g(u)du

c'est archi-faux.

Ex: ∫(0→t) x².dx=1/3.t³, mais ∫(0→t) x.dx.∫(0→t) x.dx=1/4. $t^4$

On repart sur l'identification:

∫(0→t) h(t-u).j(u)du=h(t).j(t) et g(t)=∫(0→t) f(u).cos(4(t-u)).du

On prend f=j et h=cos . Il ne faut pas garder les intégrales.
Donc:

g(t)=∫(0→t) f(u).cos(4(t-u)).du
g(t)=f(t).cos(4t)

On effectue la tranformée:

L[g(t)]=L[f(t).cos(4t)]=L[f(t)].L[cos(4t)]

D'où le résultat:

G(p)=F(p).p/(p²+16)

Effectivement dans les dérivées il faut enlever la valeur en 0. Je l'avais oubliée car j'ai l'habitude d'avoir cette valeur nulle justement.

En ce qui concerne la transformée de U, je ne pouvais pas deviner, et toi non plus. 1/p signifie que c'est un échelon unitaire(si il n'était pas unitaire, il serait de la forme U0/p, avec U0=12V par exemple). C'est comme si tu appuyais sur un objet avec une force constante. En électricité, c'est simple: c'est balancer du 1V en continu par exemple en entrée(avec mon exemple U0=12V, ce serait balancer du 12V en continu).

"si je remplace la partie g(t) par G(t) dans cette expression ça donne
20 G(p) - f' (t) = 2U (t)"

Attention, c'est une faute d'inattention. Il faut écrire g(t) et pas G(p).

"20.p/(p²+16).F(p)-p.F(p)-f(0+)=2/p"

Erreur de signe: on avait -f'(t).
Donc en transformant: -(p.F(p)-f(0+))=-p.F(p)+f(0+)

Mais la suite est bonne, donc c'est encore une faute de frappe.

Ensuite quelques erreurs de parenthèses(là j'arrive à suivre, mais sur une calculette ça passe pas ^^).

Sinon ça marche.

Et enfin pour répondre à ta question, non je ne suis pas prof. Je suis en prépa MP (math spé). Je n'ai que 19 ans(cette année). Mais disons que les transformées de Laplace c'est un outil en cours de SI(sciences de l'ingénieur). Donc vaut mieux apprendre vite fait le cours, et ensuite ça se fait tout seul. Il suffit d'y mettre le temps au début, et puis ça passe. C'est comme taper sur un clavier. Au début ça prend un peu de temps, mais comme c'est toujours pareil, on s'habitue.

@+

OK merci d'avoir corrigé mes fautes mais comme tu dis ce sont des erreurs de frappe. Merci encore et encore. J'aimerais si tu veux bien qu'on échange nos adresse msn si t'en a une et si tu veux bien? Car j'avais encore jamais trouvé quelqu'un qui arrivé à bien m'expliqué (en plus sur PC).
Si tu veux bien me la donner envoi la moi sur garcia777@tiscali.fr (que je me sers sur le net simplement et pas perso pour éviter de donner à tout le monde mon adresse)

Sonia