Les suites (hnsub>) ,(un) et (vn) sont définies, pour tout entier naturel n non nul, par :
(hnsub>)=1+1/2+...+1/n
(un) = (hnsub>)-ln(n) et (vn)= (hnsub>)- ln(n+1)
1) montrer que pour tout reel u de [0;1[, ln(1+u) <= u. on admetra que l'on a egalement pour tout reel u de [0;1[ , u <= -ln(1-u)
2) montrer que pour tout entier naturel n non nul :
un+1 - un = 1/n+1 + ln(1-1/n+1)
en deduire que la suite (un) est decroissante
3) montrer que pour tout entier naturel n non nul :
vn+1 -(vn) = 1/n+1 - ln(1+1/n+1)
en deduire que la suite (vn) est croissante
4)montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes
5) que peut on en deduire a propos de la convergence des suite (un) et (vn).
6) on note (gamma) la limite de la suite (un) . determiner les valeurs de n pouyr lesquelles la différence entre (un) et (vn) est inférieur a 10-3
