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Modéré par: mtschoon, Thierry, Noemi
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integrer 1/(1+x²)²

  - catégorie non trouvée dans : Supérieur
Envoyé: 18.04.2005, 20:08

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chenlonganh

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c le sujet!
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Envoyé: 18.04.2005, 20:43

Cosmos
flight

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partons de 1/(1+x²)² et posons x=tgu alors dx=(1/cos²u)du

et (1/(1+tg²u))²=(cos²u)²=cosu^4 donc l'integrale proposée se ramène à :

Integ((cosu^4/cos²u)du))=integ(cos²u du)=integ((1+cos2u)/2)=integ((1/2).u+1/4sin(2u)).

soit en revenant au chgt de variable : I=1/2.(arctgx)+1/4sin(2artgx)
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Envoyé: 18.04.2005, 23:17

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chenlonganh

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J'te remercie en réalité l'intégrale complète a trouver était x/(1+x²)² et elle peut soit disant ce trouver par IPP mais perso j'étais arrivé en dévelloppant a l'intégrale que je t'avais proposé
J'y été arrivé par la ruse du +1 -1 au numérateur par contre par l'IPP aucune idée
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Envoyé: 19.04.2005, 00:39

Cosmos
flight

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si l'integrale à calculer est x/(1+x²)² , alors c'est c'est encor plus simple !
il est inutil de faire appel à une IPP, suffit juste de voir que lorsque tu derive 1+x² tu obtiens 2x et la c'est joué!

soit donc à integrer :x.(1+x²)^-2 dx=-(1/2x).x(1+x²)^-1

soit: I=-(1/2).(1+x²)^-1.

bonne nuit.
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Envoyé: 19.04.2005, 00:42

Cosmos
flight

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j'ai introduit sans le vouloir un smiley , ..je ne sais pas quelle manip!
il faut lire à la place de la tete à toto :x
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Envoyé: 19.04.2005, 10:26

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chenlonganh

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Fo croire que j'étais crever c en réalité x²/(1+x²)² sinon j'pense que j'aurrais trouver é c'est celle la qu'il faut fr par IPP
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Envoyé: 19.04.2005, 11:09

Cosmos
flight

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j'ai la solution mais ca risque d'etre un peu long, par l'IPP cela donne

Int(x²/(1+x²)²))dx=[(1/2arctx+1/4sin(2arctgx).x²]-2.Int(x.(1/2arctx+1/4sin(2arctgx)dx.

(je choisi de primitiver 1/(1+x²)² ,car je l'ai deja obtenue et deriver x²),

calculons Int(x.(1/2.arctx+1/4sin(2arctgx))dx ici je choisi d'integrer la

plus grande partie soit .(1/2.arctgx+1/4sin(2arctgx))et deriver x. l'integrale de arctgx est x.arctgx-1/2ln(1+x²) , voila deja un morceau , il reste à integrer sin(2arctgx) qui vaut aussi 2sin(arctgx).cos(artg(x))=2x/(1+x²) soit par integration : ln(1+x²).


reprenons l'integrale "integralement":Int(x.(1/2.arctx+1/4sin(2arctgx))dx par IPP cela donne


Int(x.(1/2.arctx+1/4sin(2arctgx))dx=[x.(((1/2).xarctgx-1/4.ln(1+x²))+1/4.ln(1+x²))]-Int(1/2artgx-1/4ln(1+x²)+1/4ln(1+x²)dx,

il reste plus qu'a integrer 1/2artgx , tout recoller comme il faut et c'est terminé ! Int(1/2artgx)=1/2.xarctgx-1/4ln(1+x²)).

essaye de tout recoller , si tu n'y arrive pas fait le moi savoir.

a+
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Envoyé: 19.04.2005, 11:15

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chenlonganh

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Merci se coup si j'devrais pouvoir me débrouiller!
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