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Extremums de fonctions!! |
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Misty
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Envoyé: 18.03.2006, 19:37
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Galaxie
enregistré depuis: sep. 2005
Messages: 262
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dernière visite: 16.04.08
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Salut tout le monde; j'ai le devoir commun pour lundi et, comme vous le savez les fonctions, c'est pas mon truc  Savez vous comment on justifie qu'un nombre est le maximum ou le minimum d'une fonction? Merci beaucoup beaucoup de m'aider!!
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Zorro
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Envoyé: 18.03.2006, 19:52
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Modératrice
enregistré depuis: oct. 2005
Messages: 5202
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dernière visite: 07.09.08
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Salut,
Cela se lit sur le tableau de variations.
Si la fonction est croissante sur un intervalle puis décroissante sur l'intervalle suivant
alors la fonction a un maximum pour le x où le sens de variation change.
Si la fonction est décroissante sur un intervalle puis croissante sur l'intervalle suivant
alors la fonction a un miniimum pour le x où le sens de variation change.
Est-ce clair ? Si tu as besoin de précision n'hésite pas.
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Misty
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Envoyé: 18.03.2006, 21:43
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Galaxie
enregistré depuis: sep. 2005
Messages: 262
Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.08
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Ben, nous on le calculait, mais sans le tableau de variations. Par exemple, on avait des exos(dans le livre) du style: Justifier que le minimum de la fonction f(x)=4x²-4x+5 est 4. Et je ne comprends pas comment on fait... Merci de m'aider ++
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miumiu
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Envoyé: 19.03.2006, 09:17
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Cosmos
enregistré depuis: mar. 2006
Messages: 3528
Status: hors ligne
dernière visite: 27.03.08
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Bonjour misty!!!!!
Alors moi à ta plaçe je calculerais la dérivée de ce polynôme
f'(x)=8x-4
ensuite tu veux étudier les variations de la fonction donc tu dois étudier le signe de la dérivée
f'(x)>0
equiv/ 8x-4>0
equiv/ 8x>4
equiv/ x>1/2
donc la dérivée change de signe pour x=1/2
avant la dérivée était négative la fonction était décroissante et après 1/2 la dérivée est positive et la fonction croissante
après pour connaître le minimum tu calcules f(1/2)
bonne chance!!
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Zauctore
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Envoyé: 19.03.2006, 10:21
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Cosmos
enregistré depuis: aoû. 2005
Messages: 3377
Status: en ligne
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Attention
Misty n'est qu'en Seconde et n'a donc pas encore étudié les dérivées, merci de faire attention à ce genre de "détails", miumiu.
Au niveau de la classe de seconde, en reprenant ton exemple, Justifier que le minimum de la fonction f(x) = 4x² - 4x + 5 est 4, voici la démarche :
- de façon générale, le minimum de f est m=f(x0) lorsque pour tout x, on a f(x) >= m : cela signifie que m est la plus petite valeur atteinte par f, valeur atteinte en x0 ;
- ceci est équivalent à ce que f(x) - m >= 0 pour tout x ;
- ici, il s'agit d'étudier l'inéquation 4x² - 4x + 5 >= 4, c'est-à-dire 4x² - 4x + 1 >= 0, et avec une identité remarquable, on factorise le membre de gauche (2x - 1)² qui est bien toujours positif (c'est un carré).
Conclusion
l'inéquation initiale f(x) >= 4 equiv/ 4x² - 4x + 5 >= 4 est équivalente à (2x - 1) >= 0, ce qui est toujours vrai ; donc pour tout x, f(x) >= 4 ce qui prouve que 4 est la valeur minimum de f.
Remarque
le minimum est atteint en x0 = 1/2, car f(1/2) = 4.
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Misty
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Envoyé: 19.03.2006, 11:33
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Galaxie
enregistré depuis: sep. 2005
Messages: 262
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dernière visite: 16.04.08
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Je pense avoir compris, si par exemple, je veux démontrer que 5 est le maximum de la fonction f(x)= -x²+2x+4, alors je fais:
-x²+2x+4 <= 5
-x²+2x-1 <= 0, je factorise avec une identité remarquable:
-(x-1)² <= 0 L'expression est négative, on a donc bien f(x) <= 5.
C'est bien ca?
Merci de votre aide!
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Zauctore
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Envoyé: 19.03.2006, 11:40
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Cosmos
enregistré depuis: aoû. 2005
Messages: 3377
Status: en ligne
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C'est exactement ça ; c'est bien, Misty !
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Misty
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Envoyé: 19.03.2006, 11:55
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Galaxie
enregistré depuis: sep. 2005
Messages: 262
Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.08
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Ok !! merci beaucoup a tous les trois!!!!! 
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