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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
Fin 

Extremums de fonctions!!

  - catégorie non trouvée dans : Seconde
Envoyé: 18.03.2006, 19:37

Galaxie
Misty

enregistré depuis: sept.. 2005
Messages: 262

Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.08
Salut tout le monde; j'ai le devoir commun pour lundi et, comme vous le savez les fonctions, c'est pas mon truc icon_biggrin Savez vous comment on justifie qu'un nombre est le maximum ou le minimum d'une fonction? Merci beaucoup beaucoup de m'aider!!
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Envoyé: 18.03.2006, 19:52

Cosmos
Zorro

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 9375

Status: hors ligne
dernière visite: 07.07.17
Salut,

Cela se lit sur le tableau de variations.

Si la fonction est croissante sur un intervalle puis décroissante sur l'intervalle suivant
alors la fonction a un maximum pour le x où le sens de variation change.

Si la fonction est décroissante sur un intervalle puis croissante sur l'intervalle suivant
alors la fonction a un miniimum pour le x où le sens de variation change.

Est-ce clair ? Si tu as besoin de précision n'hésite pas.
Top 
Envoyé: 18.03.2006, 21:43

Galaxie
Misty

enregistré depuis: sept.. 2005
Messages: 262

Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.08
Ben, nous on le calculait, mais sans le tableau de variations. Par exemple, on avait des exos(dans le livre) du style: Justifier que le minimum de la fonction f(x)=4x²-4x+5 est 4. Et je ne comprends pas comment on fait... Merci de m'aider ++
Top 
Envoyé: 19.03.2006, 09:17

Cosmos
miumiu

enregistré depuis: mars. 2006
Messages: 3553

Status: hors ligne
dernière visite: 11.12.11
Bonjour misty!!!!!
Alors moi à ta plaçe je calculerais la dérivée de ce polynôme
f'(x)=8x-4
ensuite tu veux étudier les variations de la fonction donc tu dois étudier le signe de la dérivée
f'(x)>0
equiv/ 8x-4>0
equiv/ 8x>4
equiv/ x>1/2
donc la dérivée change de signe pour x=1/2
avant la dérivée était négative la fonction était décroissante et après 1/2 la dérivée est positive et la fonction croissante
après pour connaître le minimum tu calcules f(1/2)
bonne chance!!
Top 
Envoyé: 19.03.2006, 10:21

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

Status: hors ligne
dernière visite: 07.03.13
Attention
Misty n'est qu'en Seconde et n'a donc pas encore étudié les dérivées, merci de faire attention à ce genre de "détails", miumiu.

Au niveau de la classe de seconde, en reprenant ton exemple, Justifier que le minimum de la fonction f(x) = 4x² - 4x + 5 est 4, voici la démarche :

- de façon générale, le minimum de f est m=f(x0) lorsque pour tout x, on a f(x) >= m : cela signifie que m est la plus petite valeur atteinte par f, valeur atteinte en x0 ;

- ceci est équivalent à ce que f(x) - m >= 0 pour tout x ;

- ici, il s'agit d'étudier l'inéquation 4x² - 4x + 5 >= 4, c'est-à-dire 4x² - 4x + 1 >= 0, et avec une identité remarquable, on factorise le membre de gauche (2x - 1)² qui est bien toujours positif (c'est un carré).

Conclusion
l'inéquation initiale f(x) >= 4 equiv/ 4x² - 4x + 5 >= 4 est équivalente à (2x - 1) >= 0, ce qui est toujours vrai ; donc pour tout x, f(x) >= 4 ce qui prouve que 4 est la valeur minimum de f.

Remarque
le minimum est atteint en x0 = 1/2, car f(1/2) = 4.
Top 
Envoyé: 19.03.2006, 11:33

Galaxie
Misty

enregistré depuis: sept.. 2005
Messages: 262

Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.08
Je pense avoir compris, si par exemple, je veux démontrer que 5 est le maximum de la fonction f(x)= -x²+2x+4, alors je fais:
-x²+2x+4 <= 5
-x²+2x-1 <= 0, je factorise avec une identité remarquable:
-(x-1)² <= 0 L'expression est négative, on a donc bien f(x) <= 5.
C'est bien ca?
Merci de votre aide!
Top 
Envoyé: 19.03.2006, 11:40

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

Status: hors ligne
dernière visite: 07.03.13
C'est exactement ça ; c'est bien, Misty !
Top 
Envoyé: 19.03.2006, 11:55

Galaxie
Misty

enregistré depuis: sept.. 2005
Messages: 262

Status: hors ligne
dernière visite: 16.04.08
Ok !! merci beaucoup a tous les trois!!!!! icon_cool
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