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fonction exponentielle |
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Envoyé: 15.12.2004, 15:41
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enregistré depuis: déc. 2004
Messages: 1
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dernière visite: 15.12.04
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Bonjour pouvez-vous m'aider à résoudre cet exercice mais sans l'aide des intégrales.
l'objet de l'exercice est d'étudier la fonction g définie sur [0,[ par :
g(t)=(1-e^(-t))/t si t>0 et g(0)=1.
1.a. établir que g est continue en 0.
b.déterminer la limite de g en +.
2.a.Pour tout t>0,1+t<e^t.
c.en déduire le signe de g' et le sens de variation de g(on ne demande pas de construire la courbe représentative).
3.on se propose d'étudier la dérivabilité de g en 0. A cet effet on introduit la fonction h définie sur [0,+[ par h(t)=1-t+(t²/2)-e^-t.
a.calculer h' et h'', ainsi que les valeurs de h(0) et de h'(0).
b.prouver que pour tout t0 :
0<h(t)<(t^3)/6. Pour cela, on établira d'abord que 0<h''(t)<t, et on en déduira un encadrement de h' puis de h.
c.déduire de la relation précédente un encadrement de (1-e^(-t)-t)/t².
Prouver finalement que g est dérivable en 0 et que g'(0)=-1/2.
Cette dernière question me pose également quelques problèmes.
Je vous remercie de votre aide précieuse.
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Envoyé: 16.12.2004, 13:49
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Webmaster
enregistré depuis: jui. 2004
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dernière visite: 01.12.08
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1) a) Pour cela il suffit de montrer que lim (t->0) g(t) = g(0).
C'est une forme indéterminée mais il faut utiliser une propriété du cours avec un changement de variable du type X=-t. La limite à connaître est :
lim (x->0) (e^x-1)/x =1
La suite un peu plus tard (faut trouver le temps !).... Dis moi exactement ce qui te pose problème ... merci :?
Thierry
Prof de math à Paris.
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Envoyé: 17.12.2004, 13:58
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enregistré depuis: jun. 2004
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dernière visite: 06.11.08
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bon alors la suite :
1)b) La limite en + infini ne pose de problème. On trouve 0+
2)a) Pour démontrer que e^t>t+1 il faut étudier le signe de la différence e^t-t-1. Faire une étude de la fonction f(t)=e^t-t-1. On trouve f'(t)=e^t-1 qui est positive pour t>0. Donc f est croissante pour t>0 et comme f(0)=0, on en déduit que f(t) est positive si t>0 ... ouf ! (tu peux faire un tableau de variations de f, cela apparaît plus clairement).
c)Voir ci-dessous la formule de g'(t) et sa factorisation par e^-t pour faire apparaître (1+t)-e^t (dont on connait le signe négatif grâce à la question précédente).
g' est négatif et g est décroissante.
La suite à venir ....
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Envoyé: 17.12.2004, 15:45
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Webmaster
enregistré depuis: jui. 2004
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dernière visite: 01.12.08
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3)c) Voir formules d'encadrements ci-dessous.
La dernière question : g est dérivable en 0 si et seulement si :
lim (t->0) [g(t)-g(0)]/t existe et est finie. L'encadrement de la question précédente permet de dire que cette limite existe, elle est égale à -1/2. Donc g est dérivable en 0 et g'(0)=-1/2.
Ouf ... ce n'est pas un exercice facile mais qui permet de revoir de nombreuses définitions et propriétés.
Au plaisir petite Sarah ! 
Thierry
Prof de math à Paris.
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