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Inégalités, étude de fonctions, aire et triangle |
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Envoyé: 04.03.2006, 16:06
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enregistré depuis: mar. 2006
Messages: 1
Status: hors ligne
dernière visite: 04.03.06
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Bonjour à tou(te)s.
Ma nièce m'a demandé son aide, malheureusement mes souvenirs sont bien loin... 
La curiosité m'ayant piquée au vif, est-ce qu'un âme charitable pourrait m'éclairer sur la solution du problême ?
au cas où le lien image ne marche pas :
A Préliminaires
1. u et v sont deux réels
a/ Démontrez que ((u+v)/2) ^2 >= uv
b/ Peut-on avoir l'égalité ?
2. u et v sont deux réels strictement positifs
a/ f est la fonction définie sur [0;+inf[ par : f(x)= 1/x * ((u+v+x)/3) ^3
Démontrez que f a un minimum supérieur à uv
b/ Déduisez-en que pour tous réels u,v,w, strictement positifs
((u+v+w)/3)^3 >= uvw
c/ Démontrez que l'égalité a lieu ssi u=v=w
B Application
ABC est un triangle d'aire S dont les trois angles sont aigus. M est un point intérieur au triangle. On note p,Q,R les projetés orthogonaux respectifs de M sur les segments [AB], [BC], [CA].
On pose MP=p, MQ=q et MR=r et Sp, Sq et Sr sont les aires des triangles MAb, MBC et MAC.
1. En faisant jouer à Sp, Sq et Sr, les rôles respectifs de u, v et w, démontrez que :
pqr <= ( 8S^3 ) / 27abc avec AB=c, AC=b et BC=a
2.
a/ Démontrez que pqr est maximal lorsque Sp=Sr=Sq=S/3
b./ Démontrez alors que le centre de gravité du triangle ABC est un point pour lequel pqr est maximal.
Merciiiiiiiiiiiii à vous ^^ 
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Envoyé: 04.03.2006, 20:36
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Modérateur
enregistré depuis: aoû. 2005
Messages: 4536
Status: hors ligne
dernière visite: 30.11.08
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Pistes pour les Préliminaires
1.
a/ (u+v)² = ... >= 0.
b/ u = v, non ?
2.
a/ dérivée, signe de celle-ci et variations, sans doute.
b/ conséquence directe (avec x = w).
c/ si u=v=w, alors ok.
mais faut voir la réciproque : si l'égalité a lieu, alors u=v=w...
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