Résolution d'équations dans le plan complexe

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• X

  xav54 dernière édition par Hind
  
  

  5Bonjour, j'ai quelques question de mon dm qui porte sur les complexes et pour certaines d'entre elle j'ai besoin d'aide.

  Énoncé:

  1. on considère le complexe suivant : $z=(x+iy{)}^2$
     a) déterminer une condition portant sur x ou y équivalente à z est un réel.
     b) déterminer une condition portant sur x ou y équivalente à z est un imaginaire pur.

  2. On considère le complexe suivant : $z=(iy{)}^n$
     Démonter que z est un imaginaire pur si et seulement si n est impair.

  Pour la question 1.a), je trouve que z est réel si x=0 ou si y=0.
  Mais pour la question b je tombe sur quelquechose de la forme $x$^2$+y^2$ =0 en utilisant la relation z est un imaginaire pur equiv/ la somme de z et de son conjugué est nulle. Je vois vraiment pas comment aller plus loin.

  Pour la question 2 j'ai pensé a un raisonnement par l'absurde es-ce possible?

  Merci d'avance !

  Xav54

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• M

  mathsforever dernière édition par @xav54
  
  

  z=(x+iy)²=x²+2xy-y²
  Ainsi pour la b tu devrai avoir x²-y² = 0 equiv/ x=y ou x=-y

  Pour la question 2:
  Si n est paire:
  $z=(iy{)}^{2k}$ (k appartient à N)
  $z=(-y{)}^k$
  Alors z est un réel.

  Si n est impaire:
  $z=(iy{)}^{2k^{\prime }+1}$ (k' appartient à N)
  $z=(iy{)}^{2k^{\prime }}$ *(iy)
  Là tu peux de servir de ce que je viens de faire avec n paire pour dire que dans le cas où n est impaire, z est égal à un nombre réel fois un imaginaire pur qui est iy.
  Par conséquent, z est un imaginaire pur.
  D'où z est un imaginaire pur si, et seulement si n est impaire.

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• X

  xav54 dernière édition par @mathsforever
  
  

  mathsforever
  z=(x+iy)²=x²+2xy-y²
  Ainsi pour la b tu devrai avoir x²-y² = 0 equiv/ x=y ou x=-y

  Pour la question 2:
  Si n est paire:
  $z=(iy{)}^{2k}$ (k appartient à N)
  $z=(-y{)}^k$
  Alors z est un réel.

  Si n est impaire:
  $z=(iy{)}^{2k^{\prime }+1}$ (k' appartient à N)
  $z=(iy{)}^{2k^{\prime }}$ *(iy)
  Là tu peux de servir de ce que je viens de faire avec n paire pour dire que dans le cas où n est impaire, z est égal à un nombre réel fois un imaginaire pur qui est iy.
  Par conséquent, z est un imaginaire pur.
  D'où z est un imaginaire pur si, et seulement si n est impaire.

  Merci beaucoup !!! Moi et les erreurs de calcul .
  Le sujet est clos et encore merci Mathsforever

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