J'ai eu l'exercice ci dessous à un contrôle et j'aimerai être en état de le corriger si le profeseur m'interroge lorsqu'on le corrigera...
Je vous met l'énoncé:
Soit n un entier naturel non fixé.
Démontrer que pour tout réel x positif ou nul: (1+x)n >= nx
(indication:vous pouvez utiliser les variations d'une fonction bien choisie)
Je pense qu'il faut que j'étudie la fonction:
f(x)=(1+x)n -1-nx ,je pourrais donc résoudre mon inéquation en regardant les valeurs pour lesquelles elle (f) est supérieur à 0.
Mon problème:je ne vois pas comment étudier une fonction avec un indice "n".
Bonjour,
L'idée dans cette situation c'est de visualiser n comme étant un nombre fixé
[ ex :si n=2
[ f(x) devient f(x)=(1+x)^2-2x-1
[ et f'(x)=2(1+x)^(2-1)-2
[ (remarque:(u^k)'=ku'u^(k-1) et ici u(x)=1+x et u'(x)=1) ]
si on garde n comme lettre :
f(x)=(1+x)^n-nx-1
f'(x)=n(1+x)^(n-1)-n=n[(1+x)^(n-1)-1]
Or pour tout x positif
on a 1+x>=1 donc (1+x)^n>=1 et (1+x)^(n-1)-1>=0
d'où f'(x)>=0
donc f est croissante pour x>=0 et f(0)=-1
donc (1+x)^n-nx-1>=-1
c'est à dire (1+x)^n>=nx pour x>=0
Une personne qui n'a jamais commis d'erreurs n'a jamais innové.
A. Einstein
stguherigh(s'écrasant sur son clavier)...
