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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
Fin 

nombres parfaits

  - catégorie non trouvée dans : Seconde
Envoyé: 25.02.2006, 21:23

Une étoile
doglover

enregistré depuis: sept.. 2005
Messages: 26

Status: hors ligne
dernière visite: 02.05.06
Bonjour, j'ai besoin de votre aide, merci ! Voici l'exercice :
(1) Questions préliminaires
On se propose de trouver une expression plus simple de la somme : S = 1 + 2 + 22 + 23 + ...... + 2n

a) Première méthode : vérifier que tout n, entier naturel, on a :2n = 2n + 1 - 2n
En écrivant cette égalité pour chaque terme de la somme S, simplifier l'écriture de S.

b) Deuxième méthode : Exprimer 2S en fonction de S et en déduire une expression simple de S.

(2) Un entier est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs autres lui même.
a) Montrer que 6, 28 et 496 sont des nombres parfaits.

b) Soit n un entier naturel tel que p = 2n - 1 soit un nombre premier. Montrons que N = 2n - 1 * p est un nombre parfait.
-i- Donner la liste des diviseurs de N (Remarquez que l'écriture N = 2n - 1 * p est la décomposition en facteurs premiers de N).
-ii- Justifier l'égalité : 1 + 2 + 22+ 23 + ...... + 2n - 1 = p
-iii- En déduire que la somme de tous les diviseurs de N est égale à 2N. Conclure.

Merci de votre aide à l'avance ! Bonne soirée ! icon_wink
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Envoyé: 25.02.2006, 21:33

Voie lactée


enregistré depuis: janv.. 2006
Messages: 121

Status: hors ligne
dernière visite: 04.10.07
bonsoir j'ai trouver quelque chose mais j'aimerai savoir pourquoi c faux:



2S=2+4+2^3+2^4+...+2^n+1

2S=1+S la sa doit etre faux!!!!

S=1

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Envoyé: 25.02.2006, 21:43

Voie lactée


enregistré depuis: janv.. 2006
Messages: 121

Status: hors ligne
dernière visite: 04.10.07
salut,

pour la premiere partie cest simple:

2^n=2^n+1 -2^n

2^n+2^n=2^n+1

2*(2^n)=2^n+1
2^n+1=2^n+1

voila ca c fait!!!!


avec cette egalité on trouve :

S=2^1-1+2^2-2^1+2^3-2^2+...+2^n+1-2^n

d'ou S=-1+2^n+1

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Envoyé: 25.02.2006, 22:46

Cosmos
Zorro

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 9374

Status: hors ligne
dernière visite: 10.01.16
bonsoir,

Non mais vraiment les profs de seconde ils font n'importe quoi.

Pour de vrai, tu es en quelle classe ???? c'est important de savoir ce que tu sais pour te répondre en fonction de ce que tu es censé savoir.
Top 
Envoyé: 25.02.2006, 23:41

Une étoile
mala

enregistré depuis: févr.. 2006
Messages: 38

Status: hors ligne
dernière visite: 11.03.06
Zorro
bonsoir,

Non mais vraiment les profs de seconde ils font n'importe quoi.

Pour de vrai, tu es en quelle classe ???? c'est important de savoir ce que tu sais pour te répondre en fonction de ce que tu es censé savoir.


Les profs de seconde sont ils devenus fous ?
1) le "savoir" nécessaire pour répondre à la première partie ne me semble pas relever d'un grand niveau de connaissance mathématiques.
2) cet exercice n'a pas été donné le jeudi pour le vendredi me semble t-il.
3) la deuxième partie est effectivement beaucoup plus difficile et peut ammenera chaque élève à chercher (même si le résultat n'est pas au bout du chemin)
4) la seconde est la fin du "collège unique pour tous" même si chacun se destine à différentes carrières.

Non je suis pas d'accord: ton professeur de seconde n'est pas tombé sur la tête !!!! Bien au contraire doglover, courage, accroche toi et l'essentiel est de progresser.Comme disait Einstein : "si vous avez des difficultés en Mathématiques : imaginez quels sont les miennes !"


Une personne qui n'a jamais commis d'erreurs n'a jamais innové.
A. Einstein
Top 
Envoyé: 26.02.2006, 17:26

Une étoile
doglover

enregistré depuis: sept.. 2005
Messages: 26

Status: hors ligne
dernière visite: 02.05.06
Bonjour, dans cet exo j'ai réussi la 1.a et la 2.a mais pouvez vous m'aider pour la partie 2.b qui est dure je ne comprends rien aux consignes.
Top 
Envoyé: 26.02.2006, 17:29

Une étoile
doglover

enregistré depuis: sept.. 2005
Messages: 26

Status: hors ligne
dernière visite: 02.05.06
J'ai oublié de vous remerciez.
Top 
Envoyé: 26.02.2006, 19:06

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

Status: hors ligne
dernière visite: 07.03.13
Question i

p étant un nombre parfait, les diviseurs de N = 2n-1foi/p sont :
1, 2, 2², ..., 2n-1, p, 2foi/p, 2²foi/p, ..., 2n-1foi/p.

Question ii

On demande en fait ici de prouver que
1 + 2 + 2² + ... + 2n-1 = 2n - 1,

C'est la première partie qui donne la réponse :
1 + 2 + 2² + ... + 2n-1 = 2n-1+1 - 1 = 2n - 1 = p.

Question iii

On doit faire la somme S des diviseurs trouvés à la question i.
S = 1 + 2 + 2² + ... + 2n-1 + p + 2foi/p + 2²foi/p + ... + 2n-1foi/p
= p + pfoi/(1 + 2 + 2² + ... + 2n-1)
= p foi/(p + 1)
= p foi/(2n - 1 + 1)
= p foi/ 2n
= 2 foi/ p foi/ 2n- 1
=2 foi/ N.

La somme des diviseurs de N = 2n-1foi/p est égale à 2N : ce nombre N est donc parfait.
Remarque : ce résultat était déjà connu d'Euclide. C'est Euler qui en a prouvé la réciproque près de 2000 ans plus tard.
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