3. Expression d'une somme et nombres parfaits

Expression d'une somme et nombres parfaits

  • D

    Bonjour, j'ai besoin de votre aide, merci ! Voici l'exercice :
    (1) Questions préliminaires
    On se propose de trouver une expression plus simple de la somme : S = 1 + 2 + 222^222 + 232^323 + ...... + 2n2^n2n

    a) Première méthode : vérifier que tout n, entier naturel, on a :2n2^n2n = 2n+12^{n + 1}2n+1 - 2n2^n2n
    En écrivant cette égalité pour chaque terme de la somme S, simplifier l'écriture de S.

    b) Deuxième méthode : Exprimer 2S en fonction de S et en déduire une expression simple de S.

    (2) Un entier est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs autres lui même.
    a) Montrer que 6, 28 et 496 sont des nombres parfaits.

    b) Soit n un entier naturel tel que p = 2n2^n2n - 1 soit un nombre premier. Montrons que N = 2n−12^{n - 1}2n−1 * p est un nombre parfait.
    -i- Donner la liste des diviseurs de N (Remarquez que l'écriture N = 2n−12^{n - 1}2n−1 * p est la décomposition en facteurs premiers de N).
    -ii- Justifier l'égalité : 1 + 2 + 222^222+ 232^323 + ...... + 2n−12^{n - 1}2n−1 = p
    -iii- En déduire que la somme de tous les diviseurs de N est égale à 2N. Conclure.

    Merci de votre aide à l'avance ! Bonne soirée ! 😉

    E 1 réponse
  • E

    bonsoir j'ai trouver quelque chose mais j'aimerai savoir pourquoi c faux:

    2S=2+4+2^3+2^4+...+2^n+1

    2S=1+S la sa doit etre faux!!!!

    S=1

    E 1 réponse
  • E

    salut,

    pour la premiere partie cest simple:

    2^n=2^n+1 -2^n

    2^n+2^n=2^n+1

    2*(2^n)=2^n+1
    2^n+1=2^n+1

    voila ca c fait!!!!

    avec cette egalité on trouve :

    S=2^1-1+2^2-2^1+2^3-2^2+...+2^n+1-2^n

    d'ou S=-1+2^n+1

    Zorro 1 réponse
  • Zorro

    bonsoir,

    Non mais vraiment les profs de seconde ils font n'importe quoi.

    Pour de vrai, tu es en quelle classe ???? c'est important de savoir ce que tu sais pour te répondre en fonction de ce que tu es censé savoir.

    M 1 réponse
  • M

    Zorro
    bonsoir,

    Non mais vraiment les profs de seconde ils font n'importe quoi.

    Pour de vrai, tu es en quelle classe ???? c'est important de savoir ce que tu sais pour te répondre en fonction de ce que tu es censé savoir.

    Les profs de seconde sont ils devenus fous ?

    1. le "savoir" nécessaire pour répondre à la première partie ne me semble pas relever d'un grand niveau de connaissance mathématiques.
    2. cet exercice n'a pas été donné le jeudi pour le vendredi me semble t-il.
    3. la deuxième partie est effectivement beaucoup plus difficile et peut ammenera chaque élève à chercher (même si le résultat n'est pas au bout du chemin)
    4. la seconde est la fin du "collège unique pour tous" même si chacun se destine à différentes carrières.

    Non je suis pas d'accord: ton professeur de seconde n'est pas tombé sur la tête !!!! Bien au contraire doglover, courage, accroche toi et l'essentiel est de progresser.Comme disait Einstein : "si vous avez des difficultés en Mathématiques : imaginez quels sont les miennes !"

    D 1 réponse
  • D

    Bonjour, dans cet exo j'ai réussi la 1.a et la 2.a mais pouvez vous m'aider pour la partie 2.b qui est dure je ne comprends rien aux consignes.

    D 1 réponse
  • D

    J'ai oublié de vous remerciez.

    Zauctore 1 réponse
  • Zauctore

    Question i

    p étant un nombre parfait, les diviseurs de N = 2n−12^{n-1}2n−1foi/p sont :
    1, 2, 2², ..., 2n−12^{n-1}2n−1, p, 2foi/p, 2²foi/p, ..., 2n−12^{n-1}2n−1foi/p.

    Question ii

    On demande en fait ici de prouver que
    1 + 2 + 2² + ... + 2n−12^{n-1}2n−1 = 2n2^n2n - 1,

    C'est la première partie qui donne la réponse :
    1 + 2 + 2² + ... + 2n−12^{n-1}2n−1 = 2n−1+12^{n-1+1}2n−1+1 - 1 = 2n2^n2n - 1 = p.

    Question iii

    On doit faire la somme S des diviseurs trouvés à la question i.
    S =
    1 + 2 + 2² + ... + 2n−12^{n-1}2n−1+ p + 2foi/p + 2²foi/p + ... + 2n−12^{n-1}2n−1foi/p

    p+ pfoi/(
    1 + 2 + 2² + ... + 2n−12^{n-1}2n−1)
    = p foi/(
    p+ 1)
    = p foi/(2nfoi/(2^nfoi/(2n - 1 + 1)
    = p foi/ 2n2^n2n
    = 2 foi/ p foi/ 2n−12^{n- 1}2n−1
    =2 foi/ N.

    La somme des diviseurs de N = 2n−12^{n-1}2n−1foi/p est égale à 2N : ce nombre N est donc parfait.
    Remarque : ce résultat était déjà connu d'Euclide. C'est Euler qui en a prouvé la réciproque près de 2000 ans plus tard.

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