Demonstration vectorielle

Bonjour,
voila mon prof me demande de démontrer les propriétés des vecteurs dans un repères.
Voila les propriétés en question :
_vecteur AB a pour coordonnées (xB-xA ; yB-yA)
_vecteur U + vecteur V ont pour coordonnées(xU+xV ; yU+yV)
_vecteur U x k a pour coordonnées (k xU ; k yU )
_B image de A par vecteur u(x;y) a pour coordonnées xA+x;yA+y)
I milieu de [AB] a pour coordonnées (xA+xB par deux ; yA+yB par deux)

Voila je vous avourai que je viens de me lancer sur le sujet mais je ne sais pas du tout comment m'y prendre,par ou commencer etc...
Je précise que tout cela est dans un repere (o;i;j) quelconque.

Merci bcq d'avance

Tout tourne autour de la décomposition sur la base i $→^\rightarrow$ , j $→^\rightarrow$ .

Bon, pour le 1er alinéa :
tu as AB $→^\rightarrow$ = OB $→^\rightarrow$ - OA $→^\rightarrow$ . Or, OA $→^\rightarrow$ = xA i $→^\rightarrow$ + yA j $→^\rightarrow$ et de même pour OB $→^\rightarrow$ ; tu regroupes tout ça et tu obtiens les coordonnées de AB $→^\rightarrow$ sur la base i $→^\rightarrow$ , j $→^\rightarrow$ .

Pour le second alinéa :
tu as U $→^\rightarrow$ = xU i $→^\rightarrow$ + yU j $→^\rightarrow$ et de même pour V $→^\rightarrow$ ; alors, tu exprimes la somme de U $→^\rightarrow$ et de V $→^\rightarrow$ sur la base i $→^\rightarrow$ , j $→^\rightarrow$ .

Idem pour les deux autres.

merci mais je voudrais une précision pour le troisieme alinéa peut-on dire :
"les coordonnées de l'image d'un point par un vecteur sont celle du point + celle du vecteur" ?
apres je fais la démonstration suivante : A = xA i + yA y et U = xU i + yU i
alors B ( le symetrique ici ) (xA i + xU i ; yA i + yU i )
--> ce qui répond à la question mais cela vaut-il comme une démonstration ? si oui l'usage des vecteur i et j sont-ils nécessaire ?
merci d'avance

Tu parles du 4e, plutôt.

Dire que B est l'image de A par la translation de vecteur u $→^\rightarrow$ se traduit par l'égalité
AB $→^\rightarrow$ = u $→^\rightarrow$ ,
ou encore OB $→^\rightarrow$ - OA $→^\rightarrow$ = u $→^\rightarrow$ ,
d'où en définitive OB $→^\rightarrow$ = OA $→^\rightarrow$ + u $→^\rightarrow$ .
Cette égalité sur les vecteurs a lieu.

On obtient les expressions des coordonnées uniquement en revenant à la base i $→^\rightarrow$ , j $→^\rightarrow$ (si l(on veut les démontrer bien sur ; car dans la pratique, on utilise les résultats sans sourciller).

merci pour tout mais peux tu confirmer ma réponse pour le derbier alinéa :
i milieu de [AB] donc i milieu de vecteur AB donc ces coordonnées sont la moitié du vecteur AB .
vecteur AB = xB i - xA i ; yB j + xA j alors I = (xB i - xA i)/2 + (yB j - yA j)/2

voila merci encore à toi

Je dirais plutôt, vu que 2 OI $→^\rightarrow$ = OA $→^\rightarrow$ + OB $→^\rightarrow$ (parallélogramme),
et donc 2 xI = xA + xB d'une part ; d'autre part 2 yI = yA + yB, d'où...

Et puis attention : le "milieu d'un vecteur" est une expression inappropriée.

hummm subtile
Ok c'est juste une question de point de vue mais ta réponse est plutot celle qu'on attends
Merci encore