Salut a tous, j'ai deja fais l'exercice mais j'aimerais savoir si c'est juste ou pas, merci a celui ou celle qui me le corrigera
voici l'ennoncé :
On considere la fonction f definie sur :
]- inf/;0[U]0;+ inf/[
Par : f(x) = (x-1)² / x
On designe par C sa courbe représentative dans un repere orthonormal (O,i,j) (unité 1 cm)
1°/ Determiner les limite de f en 0. Indiquer une conséquence graphique du resultat
2°/ a) Déterminer les limites de f en + inf/ et en - inf/.
b) Démontrer que la droite D d'équation y = x-2 asymptote à C
c) étudier la position relative de C et D
3°/ Etudier les varations de f et et dresser le tableau des variations complété par les limites
Alors voici ce que j'ai fais !!!
1°/ lim f(x)= (0-1)²/0- =1/0- = - inf/
x -> 0
x<0
lim f(x) = (0-1)²/0+ = + inf/
x->0
x>0
Les limites de f(x) en 0 sont + inf/ et - inf/ donc x=0 est une asymptote verticale
B) Droite D d'équation y = x-2 asymptote à C, l'équation de la droite D est de la forme y = ax+b donc elle pourait etre asymptote oblique. Pour cela, il gaut que lim [f(x) - (ax+b)] = O quand x-> - et + inf/
[f(x) - (ax+b)] = (x-1)²/x - (x-2)
= x²-2x+1-x²+2x
=1/x
lim 1/x = 0 quand x tend vers - et + inf/
C) C : f(x) = (x-1)²/x
D: y = x-2
Pour etudier la position relative de C et D, on soustrait ces deux derniers.
f(x)-(x-2) = 1/x
Si x>O, C est au dessus de D
Si x
3) f(x) = (x-1)²/x
Df=Df'=R*
u'(x) = 2x u' x u = 2x(x-1)x1=2x-2
v'(x)=1
donc u/v = u'v-uv'/v²
donc f(x) = [(2x-2)x-(x-1)² x 1 ] / x²
= [2x²-2x-x²+2x-1] / x²
= (x²-1) / x²
Le signe de la dérivé est du meme signe que le numero car x² est toujours superieur :
Tableau de variation de f(x)
alors j'ai mis pour la ligne x²-1
-inf/ et -1 = +
-1 et 0 = -
0 et 1 = -
1 et +inf/ = +
pour la ligne x² dans l'ordre : + + + +
pour la ligne (x²-1)/x² dans l'ordre : + - - +
et pour le sens de variation de f(x) : monte, descend, (double barre) descend, monte
voila c'est fini merci a tout ceux qui m'aiderons !!!!
tes résultats me semblent corrects, BRAVO !! Mais de petites maladresses apparaissent à certains endroits !
*** Ici tu pouvais aller plus vite : tu avais montré à la question précédente que f(x) = x-2 + (1/x) donc (x-1)²/x - (x-2) = x-2 + (1/x) - (x-2) = 1/x
**** Ici il faut préciser : Posons f(x) = u(x) / v(x) avec u(x) = (x-1)² et v(x) = x
De plus tu as fait une erreur juste en dessous, marque plutôt : Soit w(x) = x-1, u'(x) = 2*w'(x) * w(x)
Aussi ne marque pas "donc u/v = u'v-uv'/v²", ce qui est FAUX d'ailleurs, mais "or (u/v)' = u'v-uv'/v²".
Euh...cette phrase ne veut pas dire grand chose. Je suppose que tu voulais dire "numérateur" et pas "numéro".
Soit tu gardes la phrase : "La dérivée f' a le même signe que le numérateur car x² est toujours positif" et alors la ligne x² n'a plus d'utilité dans le tableau de variations.
Soit tu peux trouver le signe de f'(x) en dehors du tableau de variations comme ceci :
x² est toujours positif, donc f'(x) a le signe de x²-1.
x²-1 >= 0
equiv/
x² >= 1
equiv/
x >= 1 ou x <= -1
Donc f'(x) >= 0 sur ]-inf/;-1] union/ [1;+inf/[
et donc f'(x) <= 0 sur [-1;0[ union/ ]0;1]
Dans ce cas là, les lignes x²-1 et x² n'ont donc plus d'utilité dans le tableau de variations.
